Eckige Figuren berechnet man dadurch, dass man sie in Dreiecke zerlegt. Und wie man mit Dreiecken umgeht, haben wir inzwischen gelernt.

Gebogene Figuren sind hingegen sehr schwer zu beherrschen. Außer: Es handelt sich um Kreise bzw. Kreisstücke. Die sind kinderleicht. Wie man die Länge eines Kreisbogens berechnet und die Fläche, die er einschließt, das lernen wir in dieser Lektion.

Die Länge eines gesamten Kreisumfangs kennst du seit Jahren:

Kreisumfang:  u = π · 2r  oder  u = π · d   

                  mit π = 3,14159...

Ein Kreisbogen ist ein Stück des Kreisumfangs. Er hängt davon ab, wie weit es "rumgeht". Also vom Mittelpunktswinkel α.

Kreisbogen:    b = 

α 360°

· π· 2r

Der vorgeschobene Bruch 

α 360°

 ist überhaupt nichts Besonderes. Er sorgt einfach dafür, dass man nicht den gesamten Umfang π· 2r , sondern nur einen Teil davon errechnet:

α = 180°  →  Halb-Kreis    →  

180° 360°

 = 0,5

α = 90°  →  Viertel-Kreis  →  

90° 360°

 = 0,25

α = 36°  →  Zehntel Kreis →  

36° 360°

 = 0,1

Beispiel: 

Vom Umfang eines Kreises mit Radius 20 cm wird ein Bogen über einen Winkel von 45° heraus geschnitten. Wie lang ist der Bogen?

Lsg: b = 

45° 360°

 · π· 2 · 20 cm = 15,71 cm

Auch den Flächeninhalt eines Kreises kennst du seit Jahren:

Kreisfläche:  A = π · r²

Ein Kreisring ist die Fläche, die zwischen zwei Kreisen mit gleichem Mittelpunkt aber unterschiedlichen Radien entsteht.

Um den Flächeninhalt eines Kreisringes zu berechnen, zieht man einfach die Fläche des kleinen von der des großen Kreises ab:

Kreisring: A = π · r₁² – π · r₂² = π · (r₁² – r₂²)

Beispiel: 

Berechne die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit den Radien 10 cm und 20 cm.

Lsg: A = π · (20² – 10²) = 942,48 cm²

Ein Kreissektor ist ein Stück einer Kreisfläche.

Wir betrachten also wieder die gleiche Situation wie beim Kreisbogen, konzentrieren uns dieses Mal aber auf die Fläche, die der Bogen einschließt.

Auch hier gibt es eine einfache Formel, die besagt: Die Fläche ist genau der Anteil an der Gesamtfläche, wie es der Winkel im Vergleich zu 360° ist:

A = 

α 360°

· π· r²

Ist α beispielsweise 90°, was ein Viertel von 360° ist, so bekommen wir als Fläche eben ein Viertel der Gesamtfläche.

Beispiel: 

Berechne die Fläche eines Sektors mit dem Mittelpunktswinkel 100°, der aus einem Kreis mit Radius 9 cm herausgeschnitten ist.

Lsg: A = 

100° 360°

· π· 9² = 70,65 cm²

Ein Kreissegment entsteht, wenn man durch eine Gerade den äußeren Teil des Kreissektors abtrennt.

Die Fläche des Kreissegmentes ist die Fläche des zugehörigen Kreissektors minus die Fläche des Dreiecks, das sich ergibt.

Dabei errechnet sich die Dreiecksfläche über

A_Dreieck = 

1 2

· a · b · sin α = 

1 2

· r² · sin α

Für das Segment bedeutet dies:

A_Segment = A_Sektor – A_Dreieck

A_Segment = 

α 360°

· π· r² – 

1 2

· r² · sin α

Beispiel: 

Berechne die Fläche eines Segments mit dem Mittelpunktswinkel 80°, das aus einem Kreis mit Radius 12 cm herausgeschnitten ist.

Lsg: 

A_Sektor = 

80° 360°

· π· 12² = 100,53 cm²
A_Dreieck = 

1 2

· 12² · sin 80° = 70,91 cm²

A_Segment = 100,53 – 70,91 = 29,62 cm²