Lektion
   Terme vereinfachen: Klammern   
Worum geht es?
Wieder sollen Formeln vereinfacht werden, die unnötig kompliziert sind. Oft enthalten Formeln Klammern, die man besser auflöst, bevor man sie zum Rechnen verwendet. Das kann vor allem dann günstig sein, wenn es hinter der Klammer noch weitere Terme gibt, die man mit denen in der Klammer verrechnen kann.
 
In dieser Lektion lernst du
1.Zahl mal Klammer.
2.Term mal Klammer.
3.Verschachtelte Klammern.
4.Klammer mal Klammer.
 
Zahl mal Klammer
5 · (2x + 7) = 10x + 35

Wenn du eine Zahl mal eine Klammer nimmst, musst du die Zahl mit jedem Term der Klammer multiplizieren. NICHT nur mit dem ersten!

7 · (3x2 – 4x + 0,5) = 21x2 – 28x + 3,5
 
Hauptfehler vieler Schüler:
.... = 10x + 7    FALSCH!!

Mit jedem Term in der Klammer malnehmen!
   








-0,5 · (-3) = +1,5




Oft wird der Malpunkt weggelassen.






Achtung:

 -a2 · 3 = -3a2 Doch dann ist da noch ein Minus vor der Klammer, deshalb: + 3a2.
Dabei ist es gleichgültig, ob die Zahl vor oder hinter der Klammer steht.

(a2 – 
3
5
a + 
2
3
) · 15 = 15a2 – 9a + 10 


Oder sowohl davor als auch dahinter. Du multiplizierst einfach beide Zahlen miteinander und dann erst mit jedem Term in der Klammer.

0,5 · (x2 – 3xy + 4y2) · 6 = 3x2 – 9xy + 12y2
 
Achtung bei negativen Faktoren:

-4 · (3x + 6) = -12x – 24 

-0,5 · (5a2 – 3a) = -2,5a2 + 1,5a

6 (2x + 5) = 12x + 30
 
Das Ganze ist vor allem dann sinnvoll, wenn man die von der Klammer "befreiten" Terme später mit anderen Termen zusammenfassen kann.

3 · (2x – 4) + 4x + 10 =
6x – 12  +  4x – 10 =
10x + 2

4 (a3 + 2a2) – (2a3 - a2) · 3 =
4a3 + 8a2  –  6a3 + 3a2 =
-2a3 + 11a2
 
Terme mal Klammer
Selbstverständlich kann außerhalb der Klammer nicht nur eine Zahl sondern auch ein komplizierterer Term mit Variablen stehen.

Das Vorgehen ist aber genau das Gleiche: Den Term mit jedem Element der Klammer multiplizieren.
 
Merke:
Den Term mit jedem Element der Klammer multiplizieren!









   
Hier wurde die Klammer wegen des Minuszeichens noch einen Schritt länger beibehalten. Du kannst aber auch die ersten beiden Schritte in einem machen.
2x · (x – 7) = 2x2 – 14x

-3a · (a2 – 2a) = -3a3 + 6a2

(x2 – 0,4x + 3) · (-1,5x) = -1,5x3 + 0,6x2 – 4,5x

4x3 · (3x2 – 0,5x + 8) = 12x5 – 2x4 + 32x
 
Und wieder ist das Ganze erst dann wirklich sinnvoll, wenn man die erhaltenen Terme mit anderen außerhalb der Klammer zusammenfassen kann.
 
3a2 · (4a – 5) + 2a3 – a2 =
12a3 – 15a2  +  2a3 – a2  =
14a3 – 16a2

z · (3z – 3) + 5z · (0,5 – 1,5z) =
3z2 – 3z  +  2,5z – 7,5z2 =
-4,5z2 – 0,5z

(x2 – 3x + 2) · 3x – 2x · (7 – 0,5x + x2) =
3x3 – 9x2 + 6x  –  (14x – x2 + 2x3) =
3x3 – 9x2 + 6x  –  14x + x2 – 2x3) =
x3 -8x2 – 8x
 
Verschachtelte Klammern
Klammern können manchmal auch weitere Klammern enthalten. Dann wird von innen nach außen eine Klammer nach der anderen abgearbeitet.
 




Wenn du versehentlich die eckige statt der runden Klammer nimmst, macht das überhaupt nichts.

Klammer ist Klammer!
4x · [2x · (3x – 1)] =
4x · (6x2 – 2x) =
24x3 – 8x2

3a · [(2a2 – 4a + 0,5) · a] =
3a · (2a3 – 4a2 + 0,5a) =
6a4 – 12a3 + 1,5a2
 
Und auch hier gibt es am Ende meistens noch etwas zusammen zu fassen.
 
5 · [0,2x · (3x – 6)] – (-7 – 2x) · 4 =
5 · (0,6x2 – 1,2x) – (-28 – 8x) =
3x2 – 6x + 28 + 8x =
3x2 + 2x + 28
 
Klammer mal Klammer
Statt einer einfachen Zahl oder eines Terms kann auch eine Klammer vor der Klammer stehen. In diesem Fall muss man jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multiplizieren.
 



Merke:
Jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer malnehmen.
(2x + 4) · (x + 3) =
2x2 + 6x + 4x + 12 =
2x2 + 10x + 12

(x – 5) (6 – 3x) =
6x – 3x2 – 30 + 15x =
-3x2 + 21x – 30

(x + 0,5 – x2) (0,5x + 1) =
0,5x2 + x + 0,25x + 0,5 – 0,5x3 – x2 =
-0,5x3 – 0,5x2 + 1,25x + 0,5
 
Und auch hier wieder mit einem finalen Zusammenfassen:
 
(3x – 6) (x – 4) – 0,2x (x – 8) =
3x2 – 12x – 6x + 24 – 0,2x2 + 1,6x =
2,8x2 – 16,4x + 24
 

Fehler gefunden oder Anregungen?