Lektion
   Terme vereinfachen: Grundlagen   
Worum geht es?
Wenn man eine Formel erstellt, um etwas zu berechnen, ergibt sich oft ein Term, den man noch vereinfachen kann. Dem ursprünglichen Term sieht man zwar deutlicher an, wie er erstellt wurde, mit dem vereinfachten Term lässt sich aber besser rechnen.
 

In dieser Lektion lernst du
1.Wie man Formeln vereinfacht, indem man
2.Gleichartige Terme zusammenfasst, Terme unterschiedlicher Art aber getrennt lässt.
3.Terme miteinander multipliziert.
4.Die Potenzgesetze anwendet.
 
Warum vereinfacht man Terme?
Wie oben schon erwähnt: Beim Erstellen einer Formel ergibt sich oft ein unnötig komplizierter Term. Bevor man damit rechnet, möchte man ihn vereinfachen.
 




Merke!
Bevor man mit einer Formel rechnet, vereinfacht man sie so weit wie möglich!








   
Ein Beispiel:

Die Klassenfahrt kostet pauschal 400,- € für den Bus und 60,- € Eintritt ins Museum. Pro Schüler kommen 30,- € für die Übernachtung und 10,- € für die Verpflegung hinzu.

Damit ergibt sich folgende Formel zur Berechnung des Gesamtpreises in Abhängigkeit davon, wie viele Schüler mitfahren (x):

400 + 60 + 30 · x + 10 · x
 
Dem Term sieht man wunderbar an, wie er entstanden ist. Aber kein Mensch würde damit rechnen. Stattdessen fasst man zunächst die festen Preise einerseits und die Anteile pro Schüler andererseits zusammen:

460 + 40 · x

Nun ist der Term vereinfacht und man kann verschiedene Schülerzahlen einsetzen.
 
Terme zusammenfassen
Die wichtigste Regel zur Vereinfachung ist: 

Gleichartige Terme werden zusammengefasst, Terme unterschiedlicher Art bleiben getrennt.

Das bedeutet:

Zahl zu Zahl, x zu x, x2 zu x2 usw.

aber NICHT: Zahl zu x oder zu x2!
 
Merke:
Gleichartige Terme zusammenfassen!
Unterschiedliche Terme getrennt lassen!



Hauptfehler

vieler Schüler: Sie fassen auch die 5x und die 20 noch einmal zu 25x zusammen.

Geht aber nicht!!!
   


Man sortiert das Ergebnis gerne nach den Exponenten.

Also zunächst x2, dann x, dann die Zahlen.
Beispiele:

Vereinfache den Term
2x + 16 + 3 x + 4

Lösung: ..... = 5x + 20  Ende!
 
Vereinfache den Term
12x – 7x + 4 – 7x – 13

Lösung:  ..... = -2x - 9
 
Vereinfache den Term
0,5x + 5 – 3,5x2 – 7 + 5,5x + 4x2

Lösung: ..... = 0,5x2 + 6x – 2
 
Was ist gleichartig und was nicht?
Zahlen gehören zu Zahlen, x zu x, x2 zu x2. Klar.
Aber es gibt auch verzwicktere Situationen:
 





x2y ist eine eigene Sorte. xy² ist wieder etwas anderes! Denn beim ersten muss man x quadrieren, beim zweiten y. Das ist nicht dasselbe!

Aber x2y und yx2 sind wieder gleich und dürfen zusammen gefasst werden! Denn ob ich zuerst x quadriere und dann mit y malnehme oder andersrum, ist völlig egal.
 
3x2 – 5xy + 2x2y – 4y2 + 5yx2 = ???

..... = 3x2 + 7x2y – 5xy – 4y2
 
0,2x2y – 0,4xy2 + 0,3y2x + 0,1yx2 = ???

..... = 0,3 x2y – 0,1 xy2
 
Vereinfachung durch Multiplizieren
3 · 2y + 5 · 6 – y · 4 + 2y · 4

Das kann jeder: Hier muss natürlich multipliziert werden:

..... = 6y + 30 – 4y + 8y

Und zum Schluss noch zusammenfassen wie oben gelernt:

..... = 10y + 30
 

Zuerst Multiplizieren,
dann zusammenfassen!!

Weil: Punkt vor Strich!







Alle Zahlen eines Terms malnehmen (4·2·0,5=4), dann alle Variablen (x·y=xy).
Sollen Variablen multipliziert werden, schreibt man sie als eigenen Variablentyp:

x · y → xy  ;  x2 · y → x2y  usw.
 
Vereinfache:
4 · 2x · 0,5 · y + 3x · 2 · x – y · 10 · 0,5x

Lsg: ..... = 4xy + 6x2 – 5xy = 6x2 – xy
 
Vereinfachung mit Hilfe der Potenzgesetze
x · x = x2    das ist klar!
x2 · x = x3  auch noch klar?
x4 · x2 · x3 = ???


Erinnerst du dich an die Potenzgesetze?
 
Die Potenzgesetze
x3 · x4 = x3 + 4  unten Mal: oben Plus
x5 : x3 = x5  3 unten Geteilt: oben Minus
(x3)4 = x3 · 4 hoch hoch: oben Mal
(xy)4 = x4y4 Klammer hoch: 
jedes einzelne hoch
x0 = 1 hoch Null: immer 1
x-3 = 
1
x3
 
hoch Minus: Eins durch ...




Über die Potenzgesetze gibt es in der 7.Klasse ein eigenes Kapitel.
Vereinfache:
2 x2 · 3 · x3 + 5x · 2 · x3 – 3 · x · 3x4

Lsg: ..... = 6x5 + 10x4 – 9x5 = -3x5 + 10x4
 
Vereinfache:
4(x2)4 – 3x5:x3 + 2x6 · x-3 – 5x4 · x-4

Lsg: ..... = 4x8 – 3x2 + 2x3 – 5x0 = 4x8 + 2x3 – 3x2 – 5
 
Vereinfache:
(xy3)2 + (2x2y2)3 + y · x2 · y · y4

Lsg: ..... = x2y6 + 8x6y6 + x2y6 = 2x2y6 + 8x6y6
 

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