Lektion
   Terme vereinfachen: Ausklammern   
Worum geht es?
In einigen (seltenen) Fällen kann es günstig sein, dass man Terme ausklammert. Das heißt, man erzeugt selbst eine Klammer, wo vorher keine war. Man sagt auch: Man verwandelt die Summe in ein Produkt.

4x2 + 8x = 4x · (x + 2)

Wozu ist das gut? Bald wird es um Bruchterme gehen. Das sind Brüche, die nicht nur Zahlen sondern ganze Terme enthalten. Wenn man in diesen Bruchtermen kürzen möchte, um sie zu vereinfachen, muss man vorher ausklammern.
 

         
In dieser Lektion lernst du
1.Zahlen auszuklammern.
2.Terme auszuklammern.
3.Terme teilweise auszuklammern.
 
Zahlen ausklammern
Du suchst in einer Summe von Termen gemeinsame Faktoren.

Das heißt, du suchst nach Zahlen, die in jedem der Faktoren "stecken".
 
  Man klammert
  immer die
   größtmögliche 
  Zahl aus.




Hier steckt eine 2 in jedem der beiden Terme, weil 24x = 2·12x und 16y = 2·8y. Es steckt aber auch eine 4 in beiden. Oder auch eine 8. Weil 24x = 8·3x und 16x = 8·2x. Mehr geht aber nicht. Eine 16 steckt nur im zweiten Term, nicht aber im ersten. Und die 24 steckt nur im ersten Term.

Beispiel: 

24x + 16y = ???

  Man klammert immer die größtmögliche Zahl aus.
Hier also die 8:

24x + 16y = 8 · ( ...

Innerhalb der Klammern schreibst du nun die Terme, die "mal 8" wieder die alten Terme ergeben würden.

24x + 16y = 8 · (3x + 2y)
 
Schau dir die folgenden Beispiele genau an:

18a + 45 = 9 · (2a + 5)

10x – 20 = 10 · (x – 2)

14x2 + 21x – 7 = 7 · (2x2 + 3x – 1)
 
Terme ausklammern
Auf die gleiche Art kann man ganze Terme ausklammern. Du suchst also nach einem Teil-Term, der in jedem der Einzelterme steckt. Hast du ihn gefunden, schreibst du ihn vor die Klammer. In die Klammer schreibst du die Terme, die mit dem äußeren Term multipliziert wieder die alten Terme ergeben.
 

 








Beispiel 1: 10a + 15a2

In beiden Termen steckt die 5. Und in beiden steckt ein a. Nicht in beiden würde das a2 stecken, weil der erste Term nur ein einfaches a besitzt.

10a + 15a2 = 5a · ( ...

Nun zum Inhalt der Klammer:
Was mal 5a ergibt 10a ? Richtig: 2. Was mal 5a ergibt 15a2 ? Richtig: 3a. Also:

10a + 15a2 = 5a · ( 2 + 3a)
 
Beispiel 2: 6x3 + 9x2

Hier steckt als Zahl eine 3 in beiden. Als Variable ein x oder ein x2. Mehr nicht, weil der zweite Term ja nicht mehr als x2 besitzt. x2 ist also das Größtmögliche. Wir klammern 3x2 aus!

6x3 + 9x2 = 3x2 · ( .....

Was mal 3x2 ergibt das ursprüngliche 6x3 ? Richtig: 2x. Was mal 3x2 ergibt das ursprüngliche 9x2 ? Richtig: 3. Fertig!

6x3 + 9x2 = 3x2 · (2x + 3)
 
Beispiel 3: 12x4y2 – 16x3y4 

In beiden steckt maximal die 4, ein x3 und ein y2.

12x4y2 – 16x3y4 = 4x3y2 · ( ...

Was mal 4 gibt 12? 3!  Was mal x3 gibt x4 ? x!  Was mal y2 gibt y2 ? 1! Also:

12x4y2 – 16x3y4 = 4x3y2 · (3x – 4y2)
 
Teilweises Ausklammern
Hat man mehr als zwei Terme in einer Summe, so kann man manchmal nicht aus allen das Gleiche ausklammern. Man beschränkt sich dann gerne auf zwei davon und lässt die übrigen wie sie sind.

6x2 + 9x + 14 =
3x · (2x + 3) + 14

Man hat die 14 also einfach alleine stehen lassen, weil sie nicht recht zum Ausklammern taugte.
 
Dies ist ein Thema, das nur einige Lehrer auf der Realschule verlangen. Es ist eher typisch fürs Gymnasium. Also keine Panik, wenn du es zu schwierig findest.





Wärest du auf die 1 in der Klammer gekommen? Immer wenn der komplette Term bereits außerhalb der Klammer steht, ergibt sich in der Klammer eine 1. Auf keinen Fall darf die 1 fehlen!
12a3b2 + 7b2 – 6a3b =
6a3b · (2b – 1) + 7b2

Hier taugte die 7b2 nicht. Also einfach nach hinten.
 
Sehr selten kann man bei 4 Termen jeweils aus Zweien etwas Passendes ausklammern:

4x2y + 2x2y2 + 5y4 – 10y3 =
2x2y · (2 + y)  + 5y3 · (y – 2)
 

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