Wir suchen nach weiteren Formeln für die Länge von bestimmten Strecken.

In unserem Einstiegskapitel lagen die Punkte, die die Strecke bildeten, immer senkrecht übereinander. Dies ist der einfachste und auch der am häufigsten vorkommende Fall.

Wie sieht es nun aus, wenn die Punkte waagerecht nebeneinander liegen oder schräg zueinander?

Bevor wir versuchen, Formeln zu erstellen, sehen wir uns an, wie man die Länge einer Strecke mit festen Punkten berechnet.

Zur Erinnerung:

Punkte senkrecht übereinander:

Angenommen, der Punkt A₁ läge auf einer Höhe von y = 4, der Punkt B₁ auf einer Höhe von y = 1. Wie groß ist der Abstand? 3!

 = 4 – 1 = 3

Methode:  Oberer Punkt minus unterer Punkt.

Punkte waagerecht nebeneinander:

Der Punkt A₁ läge bei x = 2 und der Punkt B₁ bei x = 6. Wie groß ist ihr Abstand?

Dies ist genauso einfach, wie wenn die Punkte übereinander lägen:   = 6 – 2 = 4

Methode:  Rechter Punkt minus linker Punkt.

Punkte schräg nebeneinander / Vektoren:

Dies ist der schwierigste Fall. Hier muss man über Pythagoras die Länge der schräg liegenden Strecke berechnen.

A(1|2) ; B(5|4)

Waagerechter Abstand:  5 – 1 = 4
Senkrechter Abstand:    4 – 2 = 2

Streckenlänge: 

A1B1 2	= 42 + 22  |  √
A1B1	= √4² + 2² = √20 = 4,47

Genauso geht man auch vor, wenn man die Länge eines Vektors berechnen möchte:

→ CD

=

(

3 -5

)

 
Länge: 

CD 2	= 32 + (-5)2  |  √
CD	= √9 + 25 = √34 = 5,83

Zusammenfassung:

senkrecht:	Oben minus Unten
waagerecht:	Rechts minus Links
schräg:	Pythagoras

Wie man Formeln für die Länge von senkrechten Strecken erstellt, haben wir bereits gesehen. Wir wiederholen es hier trotzdem noch einmal, um uns bei den anderen Strecken leichter zu tun.

Gegeben seien die Parabeln
p₁: y = x² – 2x – 1 und p₂: y = -x² + x + 1,75.
A_n ϵ p₁ ; B_n ϵ p₂ ; A_n und B_n haben die gleiche Abszisse x.

Berechne den Abstand   in Abhängigkeit von x im Bereich [-0,64 ; 2,14].

Methode: Oben minus Unten:

(Im angegebenen Intervall liegt p₂ oben.)

(x) = -x² + x + 1,75 – (x² – 2x – 1)
        = -2x² + 3x + 2,75

Gegeben sei die Parabel p: y = x² + 2x – 1

A_n und B_n liegen beide auf der Parabel p und auf gleicher Höhe y.

Berechne den Abstand   in Abhängigkeit von x.

Da beide Punkte waagerecht nebeneinander liegen, erhalten wir die Streckenlänge über die Methode:

Rechter Punkt minus linker Punkt.

Der linke Punk, A_n liegt bei x.

Der rechte Punkt liegt, wie bereits im letzten Kapitel besprochen, im gleichen Abstand zum Scheitelunkt auf dem anderen Ast der Parabel.

Scheitelpunkt: x_S = 

-

b 2a

= -

2 2·1

= -1

Abstand von A_n zum Scheitelpunkt: 

(x) = -1 – x     (rechts minus links)

Der Abstand zwischen A_n und B_n ist doppelt so groß:

(x) = 2·(-1 – x) = -2x – 2 

Fertig!

B_n verschoben und auf der gleichen Funktion 

Gegeben: A_n, B_n ϵ p  mit  p: y = x² + 2x – 1 

B_n liegt ebenfalls auf p und sei gegenüber A_n um 3 nach rechts verschoben.

Berechne den Abstand   in Abhängigkeit von x.

Da die Punkte schräg liegen, brauchen wir die x-Komponenten und die y-Komponenten der beiden Punkte und berechnen dann über Pythagoras die Länge der Strecke.

Wie man die Komponenten bestimmt, haben wir im letzten Kapitel ausführlich gesehen. Deshalb hier nur eine kurze Rechnung und das Ergebnis:

A_n (x | x² + 2x – 1)      B_n (x + 3 | ???)

Für B_n den neuen x-Wert in die Parabel einsetzen:

y_B = (x + 3)² + 2(x + 3) – 1 
  = x² + 6x + 9 + 2x + 6 – 1 
  = x² + 8x + 14           

A_n (x | x² + 2x – 1)      B_n (x + 3 | x² + 8x + 14)

Streckenlänge über Pythagoras:

Waagerechter Abstand:  3  (B_n einfach 3 weiter rechts)

Senkrechter Abstand:   
y_A – y_B = x² + 2x – 1 – (x² + 8x + 14) = -6x – 15

Streckenlänge:

²(x) = 3² + (-6x – 15)²   |  √ 
(x) = √9 + 36x² + 180x + 225 
       = √36x² + 180x + 234

B_n verschoben und auf einer anderen Funktion 

A_n liege wieder auf p mit  p: y = x² + 2x – 1: 

B_n sei gegenüber A_n um 3 nach rechts verschoben und liege auf der Geraden g: y = 0,5x – 2.

Die Punkte:

A_n (x | x² + 2x – 1)      B_n (x + 3 | ???)

y_B = 0,5·(x + 3) – 2 = 0,5x + 1,5 – 2 = 0,5x – 0,5

A_n (x | x² + 2x – 1)      B_n (x + 3 | 0,5x – 0,5)

Waagerechter Abstand:  3 

Senkrechter Abstand:   
y_A – y_B = x² + 2x – 1– (0,5x – 0,5) = x² + 1,5x – 0,5

Streckenlänge:

²(x) = 3² + (x² + 1,5x – 0,5)²   |  √ 
(x) = √9 + (x² + 1,5x – 0,5)²

Die Funktion unter der Wurzel ist so kompliziert geworden, weil x² nicht wegfällt. Hätte der Punkt B_n ebenfalls auf einer Parabel gelegen, wäre x² eventuell wieder weggefallen.