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Lektion
Zentrische Streckung

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Alles verstanden?

1.1	Was tut man bei der zentrischen Streckung anstatt alle Strecken einzeln zu vergrößern?		Lösung Man vergrößert den Abstand der Punkte zu einem Zentrum Z.

1.2	Welche Bedeutung haben Z und k?		Lösung Z ist das Zentrum der zentrischen Streckung. k ist der Streckungsfaktor.

1.3	Beschreibe, wie man für einen einzelnen Punkt vorgeht.		Lösung Man misst seinen Abstand zum Zentrum Z, berechnet den neuen Abstand, indem man den gemessenen Abstand mit dem Streckungsfaktor k multipliziert und zeichnet den Bildpunkt im neuen Abstand ein.

1.4	Welche Veränderung ergibt sich für k > 1.		Lösung Eine Vergrößerung.

1.5	Welche Veränderung ergibt sich für k < 1.		Lösung Eine Verkleinerung.

1.6	Wie führt man die Streckung für einen Kreis durch?		Lösung Man multipliziert den Abstand des Mittelpunktes zum Zentrum und auch den Radius mit k.

1.7	Wie verändern sich die Streckenlängen, wie die Flächeninhalte bei einer zentrischen Streckung?		Lösung Längen werden um den Faktor k größer/kleiner. Flächen um den Faktor k².

Führe die folgenden zentrischen Streckungen im Koordinatensystem aus

2.1			Lösung

2.2			Lösung

2.3			Lösung

Übertrage die folgenden Figuren so gut es geht auf ein Blatt und führe die geforderte zentrische Streckung aus.

3.1			Lösung

3.2			Lösung

3.3			Lösung

Berechnungen

4.1	Eine Strecke [AB] der Länge AB = 3 cm wird mit dem Faktor k = 2,5 gestreckt. Wie lang wird die Strecke [A'B']?		Lösung A'B' = 3 · 2,5 = 7,5 cm

4.2	Ein Rechteck mit den Seiten a = 4 cm und b = 7 cm wird mit k = 3,2 gestreckt. Wie lang sind die Seitenlängen des neuen Rechtecks?		Lösung a' = 4 · 3,2 = 12,8 cm b' = 7 · 3,2 = 22,4 cm

4.3	Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von a = 5 cm wird um den Faktor 1,5 gestreckt. Wie lang ist die Diagonale des gestreckten Quadrats?		Lösung Diagonale des Original-Quadrats: d = √5² + 5² = 7,07 cm Streckung: d' = 7,07 · 1,5 = 10,61 cm

4.4	Ein Dreieck besitze die Winkel α = 30° und β = 85°. Wie groß sind die entsprechenden Winkel im neuen Dreieck, wenn das Dreieck mit k = 2 gestreckt wird?		Lösung Sie verändern sich nicht.

4.5	Ein Quadrat mit a = 6 cm wird mit k = 3 gestreckt. Berechne die Fläche der Bildfigur.		Lösung Fläche des Originals: A = 6² = 36 cm² Fläche des neuen Quadrats: A' = k² · A = 3² · 36 = 324 cm²

4.6	Ein Parallelogramm mit a = 4 cm und h = 2 cm wird mit k = 2,5 gestreckt. Berechne den Flächeninhalt des neuen Parallelogramms.		Lösung A = g · h = 4 · 2 = 8 cm² A' = k² · A = 2,5² · 8 = 50 cm²

4.7	Ein Kreis mit Radius 3 cm werde um k = 1,5 gestreckt. Wie groß ist der Flächeninhalt des gestreckten Kreises?		Lösung A = π · r² = π · 3² = 28,27 cm² A' = k² · A = 1,5² · 28,27 = 63,62 cm²

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