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Lektion
Winkel an sich schneidenden Geraden

Alles verstanden?

1.1	Was gilt für ein spitzwinkliges Dreieck?	Lösung Alle Winkel sind kleiner als 90°.

1.2	Wie heißt ein Dreieck, das einen Winkel von 90° besitzt?	Lösung Rechtwinkliges Dreieck.

1.3	Was versteht man unter einem stumpfwinkligen Dreieck?	Lösung Ein Dreieck, das einen Winkel besitzt, der größer als 90° ist.

1.4	Welche Dreiecks-Arten unterscheidet man bezüglich der Seitenlängen?	Lösung Gleichschenklige, gleichseitige und allgemeine Dreiecke.

1.5	Wie nennt man die beiden gleichen und wie die dritte Seite bei einem gleichschenkligen Dreieck?	Lösung Die gleichlangen Seiten heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis.

1.6	In welche Richtung läuft die Bezeichnung der Eckpunkte A, B, C eines Dreiecks?	Lösung Gegen den Uhrzeigersnn.

1.7	Wo liegt die Seite b?	Lösung Gegenüber von Punkt B.

1.8	Wo liegt der Winkel β ?	Lösung Am Punkt B.

1.9	Wie groß ist die Summe der Innenwinkel bei einem Dreieck?	Lösung 180°

1.10	Wie zeichnet man den Außenwinkel α₁ zu dem Winkel α?	Lösung Man verlängert am Eckpunkt A eine der beiden Seiten und konstruiert den Nebenwinkel zu α.

1.11	Wie groß sind α und α₁?	Lösung α + α₁ = 180°.

1.12	Wie groß ist die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks?	Lösung α₁ + β₁ + γ₁ = 360°

1.13	Wie groß ist die Summe der Innenwinkel bei einem Viereck?	Lösung 360°

1.14	Wie groß ist die Summe der Innenwinkel bei einem Sechseck?	Lösung 4 · 180° = 720°

Berechne den fehlenden Winkel.

2.1		Lösung β = 180° – 80° – 50° = 50°

2.2		Lösung α = 180° – 70° – 20° = 90°

2.3		Lösung γ = 180° – 63° – 18° = 99°

2.4	α = 54° ; β = 112° ; γ = ?	Lösung γ = 180° – 54° – 112° = 14°

2.5	β = 7° ; γ = 116° ; α = ?	Lösung α = 180° – 7° – 116° = 57°

2.6	α = 84° ; γ = 23° ; β = ?	Lösung β = 180° – 84° – 23° = 73°

2.7	α = 147° ; β = 36° ; γ = ?	Lösung Ein solches Dreieck gibt es nicht! :O) Denn α und β sind zusammen bereits 183° groß. Die Winkelsumme muss aber insgesamt 180° ergeben.

Nun wird's etwas schwieriger

3.1	In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß. Berechne ihre Größe.	Lösung α = 180° : 3 = 60° β = 60° ; γ = 60°

3.2	In einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis c ist der Winkel γ = 40° groß. Berechne α und β.	Lösung 180° – 40° = 140° α = 140° : 2 = 70° β = α = 70°

3.3	In einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis c ist der Winkel β = 40° groß. Berechne α und γ.	Lösung α = β = 40° γ = 180° – 40° – 40° = 100°

3.4	In einem rechtwinkligen Dreieck ist α = 37°. Berechne β.	Lösung γ = 90° β = 180° – 37° – 90° = 53°

3.5	In einem rechtwinkligen Dreieck ist γ = 61°. Berechne β.	Lösung α = 90° β = 180° – 61° – 90° = 29°

3.6	In einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis b ist der Winkel β = 110° groß. Berechne α und γ.	Lösung Zeichne eine Skizze! 180° – 110° = 70° α = 70° : 2 = 35° γ = α = 35°

3.7	In einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis b ist der Winkel α = 53° groß. Berechne β und γ.	Lösung γ = α = 53° β = 180° – 2 · 53° = 74°

... und noch etwas schwieriger

4.1	In einem Dreieck ist α = 60°. β ist doppelt so groß wie γ. Berechne β und γ.	Lösung 180° – 60° = 120°. β und γ müssen also zusammen 120° groß sein. Wenn β doppelt so groß ist wie γ, sind beide zusammen also dreimal so groß wie γ. γ = 120° : 3 = 40° β = 40° · 2 = 80°

4.2	In einem Dreieck ist β = 25°. α ist 4 mal so groß wie γ. Berechne α und γ.	Lösung 180° – 25° = 155°. α und γ müssen also zusammen 155° groß sein. Wenn α viermal so groß ist wie γ, sind beide zusammen also fünfmal so groß wie γ. γ = 155° : 5 = 31° α = 31° · 4 = 124°

4.3	In einem Dreieck ist γ = 80°. α ist 64° größer als β. Berechne α und β.	Lösung 180° – 80° = 100°. α und β müssen also zusammen 100° groß sein. Wenn α um 64° größer als β ist, können wir es als β + 64° schreiben. β + 64° + β = 100° \| – 64° 2· β = 36° \| : 2 β = 18° α = 18° + 64° = 82°.

4.4	In einem Dreieck ist α = 110°. β ist 23° kleiner als γ. Berechne β und γ.	Lösung 180° – 110° = 70°. β und γ müssen also zusammen 70° groß sein. Wenn β um 23° kleiner als γ ist, können wir es als γ – 23° schreiben. γ – 23° + γ = 70° \| + 23° 2· γ = 93° \| : 2 γ = 46,5° β = 46,5° – 23° = 23,5°.

Außenwinkel

5.1	α = 45°. Wie groß ist der Außenwinkel α₁?	Lösung α₁ = 180° – 45° = 135°

5.2	β = 82°. Wie groß ist der Außenwinkel β₁?	Lösung β₁ = 180° – 82° = 98°

5.3	Der Außenwinkel γ₁ beträgt 61°. Wie groß ist γ?	Lösung γ = 180° – 61° = 119°

5.4		Lösung α₁ = 180° – 47° = 133° β₁ = 180° – 75° = 105° γ₁ = 360° – 133° – 105° = 122° oder γ = 180° – 47° – 75° = 58° γ₁ = 180° – 68° = 122°