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Lektion
Kreis, Mittelsenkrechte und Umkreis

Die Bedeutung der einzelnen Begriffe

Um welche geometrische Linie/Fläche/Punkt geht es hier?

1.1	Alle Punkte, die von einem Punkt X den Abstand 20 km haben.	Lösung Kreis mit Radius 20 km um X.

1.2	Alle Punkte, die von den Punkte R und S den gleichen Abstand haben.	Lösung Mittelsenkrechte m_R_S zur Strecke [RS].

1.3	Alle Punkte, die von den Punkten F, G und H den gleichen Abstand haben.	Lösung Umkreismittelpunkt zu F, G und H.

1.4	Ein Kreis, auf dem die Punkte A, B und C liegen.	Lösung Umkreis um A, B und C.

1.5	Wo muss ich eine Lampe aufstellen, wenn zwei Statuen gleich hell beschienen werden sollen?	Lösung Irgendwo auf der Mittelsenkrechten zur Verbindungslinie der beiden Statuen. (Nicht unbedingt genau in der Mitte der beiden. )

1.6	Eine hungrige Ziege ist mit einem 3 m langen Seil auf einer Wiese angepflockt. Welche Fläche wird später kahl gefressen sein?	Lösung Das Innere eines Kreises mit Radius 3 m um den Pflock herum.

1.7	Eine dreieckige Parkfläche hat an den drei Eckpunkten Blumenbeete. Wo muss der Gärtner den Rasensprenger hinstellen, damit alle drei Beete vom Wasser getroffen werden?	Lösung Auf den Umkreismittelpunkt der drei Eckpunkte.

1.8	Die Häuser der guten Fee und der bösen Fee befinden sich in 100 m Abstand. Ihr Zauber ist gleich stark. Auf welcher Fläche darf sich die Prinzessin aufhalten, wenn sie vom guten Zauber geschützt werden möchte?	Lösung Auf der kompletten Halbebene diesseits der Mittelsenkrechten zur Verbindungslinie der beiden Häuser. (Hier lernt man die wichtigen Dinge des Lebens! :O )

1.9	Außerdem gibt es noch das Haus des ganz bösen Zauberers, dem man sich nie auf weniger als 100 m nähern darf. In welchem Bereich darf man sich also aufhalten?	Lösung Im Äußeren des Kreises mit dem Radius 100 m um das Haus herum.

1.10	Drei Städte planen einen gemeinsamen Handy-Sendeturm. Wo muss der Turm idealer Weise stehen?	Lösung Im Umkreismittelpunkt der drei Städte.

Wie konstruiert man die einzelnen Linien, Flächen und Punkte?

2.1	Beschreibe, wie man einen Kreis mit Radius 5 cm um einen Punkt A zeichnet.	Lösung Naja, ist klar, oder?

2.2	Beschreibe, wie man eine Mittelsenkrechte zur Verbindungslinie zwischen zwei Punkte A und B erstellt.	Lösung Zirkel aufspannen auf mehr als die halbe Entfernung der Punkte. Kreisbogen um A ziehen. Kreisbogen um B mit gleichem Radius ziehen. Die beiden Schnittpunkte verbinden = Mittelsenkrechte. (Du kannst vorher A und B verbinden, muss aber nicht sein.)

2.3	Beschreibe, wie man den Umkreis um ein Dreieck mit den Punkten K, L und M konstruiert.	Lösung 1. Mittelsenkrechte auf die Strecke [KL] konstruieren (mit zwei Kreisbögen). 2. Mittelsenkrechte auf die Strecke [LM] konstruieren. 3. Mittelsenkrechte aus [MK]. Schnittpunkt ist der Umkreismittelpunkt. Dort den Zirkel einstechen, aufspannen bis zu einem der Punkte und Kreis zeichnen.

2.4	Konstruiere die Mittelsenkrechte: (ungefähr abzeichnen oder vergrößert ausdrucken)	Lösung

2.5	Markiere das Äußere eines Kreises mit Radius 4 cm um einen Punkt A.	Lösung

2.6	Konstruiere den Umkreis. (ungefähr abzeichnen oder vergrößert ausdrucken)	Lösung

2.7	Konstruiere den Umkreis. (rechter Winkel bei A)	Lösung Umkreismittelpunkt auf der Hypothenuse.

2.8	Konstruiere den Umkreis.	Lösung Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Die mathematische Schreibweise.

Welche Bedeutung haben die folgenden Beschreibungen?

3.1	{P \| PA = PB}	Lösung Die Menge aller Punkte P, die gleich weit von A wie von B entfernt sind. Also die Mittelsenkrechte.

3.2	{P \| PE = PF = PG}}	Lösung Die Menge aller Punkte P, die gleich weit von E wie von F und von G entfernt sind. Das ist der Umkreismittelpunkt.

3.3	{P \| PR < 4 cm}	Lösung Die Menge aller Punkte P, die weniger als 4 cm von R entfernt sind. Also das Kreisinnere.

3.4	{P \| PM ≥ PN}	Lösung Die Menge aller Punkte P, die weiter oder gleich weit von M als von N entfernt sind. Das ist die Halbebene auf der Seite von N der Mittelsenkrechten.

Versuche, selbst die folgenden Linien, Flächen und Punkte zu beschreiben.

4.1	Der Punkt, der gleich weit von X, Y und Z entfernt ist.	Lösung {P \| PX = PY = PZ}}

4.2	Alle Punkte, die mindestens 3 km von A entfernt sind.	Lösung {P \| PA ≥ 3 km}

4.3	Alle Punkte, die näher an D als an E sind.	Lösung {P \| PD < PE}

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