Nachdem wir uns intensiv mit den Eigenschaften der direkten Proportionalität beschäftigt haben, geht es nun ums Rechnen.

Wir nehmen wieder die Ausgangsfrage der letzten Lektion:

Wenn drei Flaschen Cola 2,40 € kosten, was kosten dann 7 Flaschen?

Die Technik, mit der man an solche Fragen herangeht, heißt Dreisatz.

Wenn drei Flaschen Cola 2,40 € kosten, was kosten dann 7 Flaschen?

Was wissen wir? Dass 3 Flaschen 2,40 € Kosten:

3 Fl  → 2,40 €

Wahrscheinlich ist dir bei solchen Fragen sofort klar, dass du die Antwort nicht sofort für 7 Flaschen berechnen kannst, sondern zunächst einmal herausfinden musst, wie viel eine Flasche kostet.

Dazu teilen wir durch 3.  2,40 : 3 = 0,80

1 Fl  →  0,80 €

Und zum Schluss multiplizieren wir mit 7 um den Preis für alle sieben Flaschen zu berechnen. 0,80 · 7 = 5,60

7 Fl  →  5,60 €.

Antwort: 7 Flaschen kosten 5,60 €.

So wie in unsrem Beispiel läuft es praktisch immer:

1. Aufschreiben, was man weiß.
2. Den Wert für 1 berechnen.
3. Den gewünschten Wert berechnen.

Zunächst schreibst du die Information über die Größe auf, die du bereits weißt.

Im zweiten Schritt berechnest du den Wert für die 1. Also wie viel 1 Flasche, 1 kg, 1 Liter usw. kostet oder wert ist. Dazu musst du die zwei Werte, die du bereits kennst, dividieren. Mathematisch gesprochen berechnest du in diesem Schritt den Proportionalitäts-Faktor.

Dann kannst du den Wert für die gewünschte Anzahl berechnen. Normalerweise einfach durch multiplizieren. Es gibt aber auch Fälle, da musst du dividieren. Wir werden uns später damit beschäftigen.

Die Rechnungen selbst (also das Teilen im zweiten und das Malnehmen im dritten Schritt) macht man entweder im Kopf oder in einer Nebenrechnung.

Der Dreisatz für unser erstes Beispiel würde so aussehen:

3 Fl	→  2,40 €
1 Fl	→  0,80 €
7 Fl	→  5,60 €

Antwort: 7 Flaschen kosten 5,60 €.

Ein Gemüsegärtner braucht für 40m² Gartenfläche 3 kg Dünger. Wie viel Dünger benötigt er für eine Fläche von 26 m²?

(Da wir die 3 kg teilen müssen, rechnen wir sie lieber in Gramm um.)

40 m2	→  3000 g
1 m2	→  75 g
26 m2	→  1950 g

Antwort: Für 26 m² benötigt er 1,950 kg Dünger.

Für eine 200 km lange Strecke braucht ein Zug 1 h und 36 min. Wie lange braucht er bei gleicher Geschwindigkeit für eine Strecke von 160 km?

200 km	→  96 min
1 km	→  0,48 min
160 km	→  76,8 min = 1 h 16 min 48s

Antwort: Für 160 km benötigt der Zug 1 h, 16 min und 48s.

Die meisten Schüler haben den Dreisatz schnell verstanden. Und dennoch machen sie oft große Fehler. Das liegt vor allem daran, dass sie im zweiten Schritt beim Berechnen der 1 falsch herum teilen.

War dir im obigen Beispiel wirklich klar, dass man 96 : 200 rechnen muss? Die Hälfte der Schüler rechnet es nämlich umgekehrt, weil sie lieber die große Zahl vorne stehen haben. Das wäre hier aber falsch!

Wie kann man sich merken, wie man teilen muss?

Schau dir genau an, welche 1 du berechnest: Hier willst du 1 km berechnen (und nicht 1 min). Wie kommst du von 200 km auf 1 km? Indem du durch 200 teilst!!! Deshalb musst du auch die 96 min durch 200 teilen!!!

Und woher weiß man eigentlich, für welche Größe man die 1 berechnen muss?

Indem du schaust, welche Berechnung in der Aufgabenstellung gewünscht ist. Hier wurde nach dem Wert für 160 km gefragt. Deshalb musst du wissen, wie lange der Zug für 1 km braucht.

Hätte man dich gefragt, welche Strecke der Zug in 100 Minuten zurücklegt, dann hättest du ausrechnen müssen, welche Strecke er in 1 Minute schafft.

Wenn nur eine Frage gestellt wird, kann man den Dreisatz immer so rechnen, dass man im dritten Schritt multipliziert. Man muss nur darauf achten, für die richtige Größe die 1 zu berechnen.

Werden aber mehrere Fragen gestellt, muss man eventuell im dritten Schritt teilen, denn für die jeweilige Frage hat man eventuell nicht die richtige 1 bestimmt.

Beispiel:

4 kg Äpfel kosten 9,60 €. Wie viel kosten 3 kg Äpfel? Wie viele kg Äpfel erhält man für 13,20 €?

Die erste Frage läuft wie gewohnt. Weil wir nach 3 kg Äpfel gefragt werden, müssen wir den Preis für 1 kg bestimmen, danach wird mit 3 multipliziert.

4 kg	→  9,60 €
1 kg	→  2,40 €
3 kg	→  7,20 €

Antwort: 3 kg Äpfel kosten 7,20 €.

Um die Frage nach den 13,20 € beantworten zu können, fehlt uns nun aber die richtige 1. Denn dazu müssten wir wissen, wie viel kg wir für 1 € bekommen.

Du könntest ihn nun zunächst berechnen. Geschickter ist es aber, den bereits berechneten Proportionalitätsfaktor zu nehmen und dieses mal nicht zu multiplizieren, sondern zu teilen:

Wenn 1 kg 2,40 € kosten, dann muss ich schauen, wie oft diese 2,40 € in meine 13,20 € hineinpassen.

 13,20 € : 2,40 € = 5,5

Antwort: Für 13,20 € erhält man 5,5 kg Äpfel.

Es muss nicht immer die 1 sein, die man im Zwischenschritt berechnet. Oft ist eine andere Zahl leichter zu errechnen, taugt aber genauso gut, um die gestellte Frage zu beantworten.

Beispiel:

240 Minuten Gesprächszeit mit dem Handy kosten 14,40 €. Wie viel kosten 160 Minuten?

Um von 240 min auf 160 min zu kommen, muss man nicht unbedingt über die 1 gehen. Die 80 als Zwischenschritt ist viel bequemer. Hierzu müssen wir nur die 240 durch 3 teilen. Anschließend wird mit 2 multipliziert.

240 min	→  14,40 €
80 min	→  4,80 €
160 min	→  9,60 €