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Worum geht es? | ||||||||||||||||||||||||||
Nachdem wir uns intensiv mit den Eigenschaften der direkten Proportionalität beschäftigt haben, geht es nun ums Rechnen.
Wir nehmen wieder die Ausgangsfrage der letzten Lektion: Wenn drei Flaschen Cola 2,40 € kosten, was kosten dann 7 Flaschen? Die Technik, mit der man an solche Fragen herangeht, heißt Dreisatz. |
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Ein erstes Beispiel | ||||||||||||||||||||||||||
Wenn drei Flaschen Cola 2,40 € kosten, was kosten dann 7 Flaschen?
Was wissen wir? Dass 3 Flaschen 2,40 € Kosten: 3 Fl → 2,40 € Wahrscheinlich ist dir bei solchen Fragen sofort klar, dass du die Antwort nicht sofort für 7 Flaschen berechnen kannst, sondern zunächst einmal herausfinden musst, wie viel eine Flasche kostet. Dazu teilen wir durch 3. 2,40 : 3 = 0,80 1 Fl → 0,80 € Und zum Schluss multiplizieren wir mit 7 um den Preis für alle sieben Flaschen zu berechnen. 0,80 · 7 = 5,60 7 Fl → 5,60 €. Antwort: 7 Flaschen kosten 5,60 €. |
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Der Dreisatz | ||||||||||||||||||||||||||
So wie in unsrem Beispiel läuft es praktisch immer:
1. Aufschreiben, was man weiß. 2. Den Wert für 1 berechnen. 3. Den gewünschten Wert berechnen. |
Drei Schritte.
Deshalb heißt diese Technik Dreisatz.
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Einige Lehrer verwenden Pfeile, so wie man es hier sieht. Andere mögen lieber =-Zeichen, wieder andere ~ oder ≙.
Beliebt ist es auch, die Rechnungen, also : 3 und · 7 neben die Zeilen zu schreiben. |
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Zunächst schreibst du die Information über die Größe auf, die du bereits weißt.
Im zweiten Schritt berechnest du den Wert für die 1. Also wie viel 1 Flasche, 1 kg, 1 Liter usw. kostet oder wert ist. Dazu musst du die zwei Werte, die du bereits kennst, dividieren. Mathematisch gesprochen berechnest du in diesem Schritt den Proportionalitäts-Faktor. Dann kannst du den Wert für die gewünschte Anzahl berechnen. Normalerweise einfach durch multiplizieren. Es gibt aber auch Fälle, da musst du dividieren. Wir werden uns später damit beschäftigen. |
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Die Rechnungen selbst (also das Teilen im zweiten und das Malnehmen im dritten Schritt) macht man entweder im Kopf oder in einer Nebenrechnung.
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Der Dreisatz für unser erstes Beispiel würde so aussehen:
Antwort: 7 Flaschen kosten 5,60 €. |
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Beispiel 2 | ||||||||||||||||||||||||||
Ein Gemüsegärtner braucht für 40m2 Gartenfläche 3 kg Dünger. Wie viel Dünger benötigt er für eine Fläche von 26 m2?
(Da wir die 3 kg teilen müssen, rechnen wir sie lieber in Gramm um.) |
NR:
3000 : 40 = 75 75 · 26 = 1950 |
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Antwort: Für 26 m2 benötigt er 1,950 kg Dünger. |
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Beispiel 3 | ||||||||||||||||||||||||||
Für eine 200 km lange Strecke braucht ein Zug 1 h und 36 min. Wie lange braucht er bei gleicher Geschwindigkeit für eine Strecke von 160 km?
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NR:
96 : 200 = 0,48 160 · 0,48 = 76,8 76,8 = 60 + 16,8 0,8 min = 8 · 0,1 = 8 · 6 s = 48 s |
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Antwort: Für 160 km benötigt der Zug 1 h, 16 min und 48s. |
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Die Gefahr, falsch zu teilen | ||||||||||||||||||||||||||
Die meisten Schüler haben den Dreisatz schnell verstanden. Und dennoch machen sie oft große Fehler. Das liegt vor allem daran, dass sie im zweiten Schritt beim Berechnen der 1 falsch herum teilen.
War dir im obigen Beispiel wirklich klar, dass man 96 : 200 rechnen muss? Die Hälfte der Schüler rechnet es nämlich umgekehrt, weil sie lieber die große Zahl vorne stehen haben. Das wäre hier aber falsch! |
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Wie kann man sich merken, wie man teilen muss?
Schau dir genau an, welche 1 du berechnest: Hier willst du 1 km berechnen (und nicht 1 min). Wie kommst du von 200 km auf 1 km? Indem du durch 200 teilst!!! Deshalb musst du auch die 96 min durch 200 teilen!!! |
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Und woher weiß man eigentlich, für welche Größe man die 1 berechnen muss?
Indem du schaust, welche Berechnung in der Aufgabenstellung gewünscht ist. Hier wurde nach dem Wert für 160 km gefragt. Deshalb musst du wissen, wie lange der Zug für 1 km braucht. Hätte man dich gefragt, welche Strecke der Zug in 100 Minuten zurücklegt, dann hättest du ausrechnen müssen, welche Strecke er in 1 Minute schafft. |
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Manchmal muss man auch im dritten Schritt teilen | ||||||||||||||||||||||||||
Wenn nur eine Frage gestellt wird, kann man den Dreisatz immer so rechnen, dass man im dritten Schritt multipliziert. Man muss nur darauf achten, für die richtige Größe die 1 zu berechnen.
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Ist die zweite Frage anders herum gestellt, musst du dividieren statt zu multiplizieren.
NR:
9,60 : 4 = 2,40 2,40 · 3 = 7,20 |
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Werden aber mehrere Fragen gestellt, muss man eventuell im dritten Schritt teilen, denn für die jeweilige Frage hat man eventuell nicht die richtige 1 bestimmt.
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Beispiel:
4 kg Äpfel kosten 9,60 €. Wie viel kosten 3 kg Äpfel? Wie viele kg Äpfel erhält man für 13,20 €? |
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Die erste Frage läuft wie gewohnt. Weil wir nach 3 kg Äpfel gefragt werden, müssen wir den Preis für 1 kg bestimmen, danach wird mit 3 multipliziert.
Antwort: 3 kg Äpfel kosten 7,20 €. |
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Um die Frage nach den 13,20 € beantworten zu können, fehlt uns nun aber die richtige 1. Denn dazu müssten wir wissen, wie viel kg wir für 1 € bekommen.
Du könntest ihn nun zunächst berechnen. Geschickter ist es aber, den bereits berechneten Proportionalitätsfaktor zu nehmen und dieses mal nicht zu multiplizieren, sondern zu teilen: Wenn 1 kg 2,40 € kosten, dann muss ich schauen, wie oft diese 2,40 € in meine 13,20 € hineinpassen. 13,20 € : 2,40 € = 5,5 Antwort: Für 13,20 € erhält man 5,5 kg Äpfel. |
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Abkürzung für Schlaumeier | ||||||||||||||||||||||||||
Es muss nicht immer die 1 sein, die man im Zwischenschritt berechnet. Oft ist eine andere Zahl leichter zu errechnen, taugt aber genauso gut, um die gestellte Frage zu beantworten.
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Solche Abkürzungen gibt es nur, wenn die Zahlen gut zusammen passen.
NR:
14,40 : 3 = 4,80 4,80 · 2 = 9,60 |
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Beispiel:
240 Minuten Gesprächszeit mit dem Handy kosten 14,40 €. Wie viel kosten 160 Minuten? Um von 240 min auf 160 min zu kommen, muss man nicht unbedingt über die 1 gehen. Die 80 als Zwischenschritt ist viel bequemer. Hierzu müssen wir nur die 240 durch 3 teilen. Anschließend wird mit 2 multipliziert.
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