In diesem Themenkomplex geht es um Flächeninhalte. Wir lernen, wie man den Flächeninhalt von Dreiecken, Rechtecken und Parallelogrammen berechnet, später auch von Drachen, Rauten und Trapezen.

Im nächsten Jahr werden wir dieses Wissen dann brauchen, um die Oberfläche und das Volumen von dreidimensionalen Körpern zu berechnen.

Im "richtigen" Leben benötigt man das Rechnen mit geometrischen Figuren und räumlichen Körpern in allen technischen Berufszweigen. Wer keine technische Richtung einschlägt, wird das Zeug später nicht mehr brauchen.

Fassen wir einmal zusammen, was wir aus früheren Klassen von Dreiecken wissen:

Nach Winkel unterscheidet man:

spitzwinklige Dreiecke       (alle Winkel < 90°)
rechtwinklige Dreiecke      (ein Winkel = 90°)
stumpfwinklige Dreiecke     (ein Winkel > 90°)

Nach Seiten unterscheidet man:

gleichschenklige Dreiecke  (zwei "Schenkel", eine Basis)
gleichseitige Dreiecke      (alle drei Seiten sind gleich)
allgemeine Dreiecke        (ohne Besonderheiten)

Bezeichnungen und Winkelsumme:

Die Punkte eines Dreiecks werden gegen den Uhrzeigersinn mit A,B und C benannt. Die Seiten liegen den Eckpunkten gegenüber.

Die Summe der Innenwinkel ist im Dreieck immer 180°. Die im Viereck ist 360°.

Dreieck: α + β + γ = 180°
Viereck: α + β + γ + δ = 360°

An der Figur rechts siehst du, dass die Fläche eines Dreiecks genau die Hälfte der Fläche des umgebenden Rechtecks ist. Hättest du die beiden Dreiecks-Hälften links und rechts von der Höhe noch einmal, könntest du sie wie durch die Pfeile angedeutet oben anlegen und erhieltest das gesamte Rechteck.

also: A_Dreieck = 

1 2

 · A_Rechteck

Die Fläche des umgebenden Rechtecks ist A_Rechteck = g · h. Also ist die des Dreiecks:

A_Dreieck = 

1 2

 · g · h

Wobei die Grundseite g eine der drei Seiten a,b oder c ist.

Beispiel 1

Ein Dreieck besitze eine Seite b mit b = 5 cm sowie eine Höhe h_b auf b mit h_b = 4 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt?

A = 

1 2

· b · hb =

1 2

· 5 · 4 = 10 cm2

Beispiel 2

Ein Dreieck mit Flächeninhalt 30 cm² hat eine Seiten­länge a von 10 cm. Wie groß ist die Höhe h_a auf a?

A = 

1 2

· a · ha

30 = 

1 2

· 10 · ha

  | : 5
6 cm = h_a

Beispiel 3

Ein Dreieck besitze die Maße a = 6 cm, c = 8 cm, h_a = 3 cm. Wie groß ist h_c , die Höhe auf c?

Lösung: Zunächst berechnen wir mit a und h_a die Fläche des Dreiecks, anschließend über die Flächenformel für c die Höhe h_c.

A = 

1 2

· a · ha =

1 2

· 6 · 3 = 9 cm2

9 = 

1 2

· c · hc

9 = 

1 2

· 8 · hc

9 = 4 · h_c  | : 4

2,25 cm = h_c

Bei rechtwinkligen Dreiecken ist eine der beiden Katheten (die kurzen Seiten) immer die Höhe auf die andere Kathete. (Weil die Katheten hier ja senkrecht aufeinander stehen.)

Die Hypotenuse hat hingegen eine eigene Höhe.

Beispiel 4: 

Wie groß ist der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a = 6 cm und b = 9 cm?

A = 

1 2

· a · ha =

1 2

· 6 · 9 = 27 cm2

Nun, den Flächeninhalt von Rechtecken konnte man schon in der Grundschule berechnen: 

A_Rechteck = a · b = Länge · Breite

Spannender wird es bei Parallelogrammen. Sie sind ja "fast" Rechtecke. Wie du an der Skizze rechts siehst, kann man eine Ecke links abschneiden und rechts dranhängen. Das ändert nichts am Flächeninhalt, lässt aber ein Rechteck entstehen.

Dieses Rechteck hat die gleiche Seitenlänge wie das Parallelogramm (hier wieder allgemein Grundseite g). Die Breite ist aber nicht etwa die andere Seitenlänge, sondern die Höhe des Parallelogramms. Somit ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms:

A_Parallgr. = g · h

Beispiel 5: 

Ein Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von 50 cm². Welche Seitenlänge b besitzt es, wenn die Höhe auf b 8 cm beträgt?

A = b · h_b
50 = b · 8  | : 8
6,25 cm = b

Es geht in diesem Themengebiet nicht nur um die Berechnung von Flächeninhalten, sondern auch darum, zu lernen, wie man verschiedene Formeln geschickt einsetzen kann, um kompliziertere Fragestellungen zu behandeln.

Zum Beispiel kann man Flächeninhalte von verschiedenen Figuren miteinander vergleichen.

Beispiel 6: 

Ein Dreieck mit einer Seite c von c = 7 cm besitzt einen dreimal so großen Flächeninhalt wie ein Parallelogramm, dessen Seite a = 12 cm und dessen Höhe auf diese Seite 6 cm groß ist. Wie groß ist die Höhe h_c des Dreiecks?

Hier muss man zunächst den Flächeninhalt über die Formel des Parallelogramms berechnen, um anschließend die gesuchte Höhe im Dreieck bestimmen zu können.

A_Parall. = 12 · 6 = 72 cm²

A_Dreieck = 3 · A_Parall. = 3 · 72 cm² = 216 cm²

A_Dreieck = 

1 2

· c · hc

216 = 

1 2

· 7 · hc

  | : 3,5
61,71 cm = h_c