Oberer y-Wert minus unterer y-Wert.
Rechter x-Wert minus linker x-Wert.
Dann die Länge über Pythagoras.

(x): Oben minus Unten
(x) = x² – 2x + 3 – (-x² – x + 1)
        = x² – 2x + 3 + x² + x – 1
        = 2x² – x + 2

Höhe auf  (x): h = 2

Fläche: 

A(x) =   · h
      = (2x² – x + 2) · 2
      = 4x² – 2x + 4

Als erste Diagonale müssen wir die Länge A_nC_n berechnen. Die zweite Diagonale ist dann einfach 3.

Koordinaten: A_n (x | x² + 3x – 2) C_n (x + 4 | ?)

y_C = (x + 4)² + 3·(x + 4) – 2
   = x² + 8x + 16 + 3x + 12 – 2
   = x² + 11x + 26

Waagerechte: 4
Senkrechte: x² + 11x + 26 – (x² + 3x – 2) = 8x + 28
            (oder umgekehrt, ist aber egal)

Punkte schräg  →  Pythagoras

 ² = 4² + (8x + 28)² 
 = √16 + 64x² + 448x + 784
          = √64x² + 448x + 800

Zweite Diagonale B_nD_n = 3.

Fläche: 
A(x) = 

1 2

· e · f
      = 

1 2

·   ·   
      = 

1 2

· √64x² + 448x + 800 · 3
      = 1,5·√64x² + 448x + 800

Die Seiten können wir berechnen, aber bei den Höhen: Keine Chance! Keine der drei Höhen ist irgendwie berechenbar. Deshalb verwenden wir das Determinantenverfahren.

Wir spannen das Dreieck vom Punkt A_n aus auf und bestimmen die beiden Vektoren.

Der erste Vektor wurde bereits gegeben: 

→ AnCn

=

(

3 -1

)

Für den zweiten Vektor, 

→ AnBn

, benötigen wir x- und y-Komponente. Dazu wiederum brauchn wir die Koordinaten der beiden Punkte A_n und B_n.

Koordinaten: A_n (x | x² – 2x + 3) B_n (x + 2 | ?)

y_B = (x + 2)² – 4·(x + 2) + 2  (in p₂ einsetzen)
   = x² + 4x + 4 – 4x – 8 + 2
   = x² – 2

Vektor: Spitze minus Fuß

→ AnBn

=

(

2 x2 – 2 – (x2 – 2x + 3

)

         = 

(

2 2x – 5

)

 

Fläche: 

A(x) = 

1 2

·

|

x1  x2 y1  y2

|

 
     = 

1 2

·

|

2   3  2x – 5  -1

|

     = 

1 2

 · [2 · (-1) – 3 · (2x – 5)]
     = 

1 2

 · (-2 – 6x + 15)
     = -3x + 6,5