Lektion
   Die Quadratwurzel   
Worum geht es?
Das Wurzelziehen ist das Gegenteil vom Quadrieren.

Quadrieren: Welche Zahl ergibt sich, wenn ich 5 quadriere?  →   52 = 25!

Wurzelziehen: Welche Zahl zum Quadrat ergibt
25?  →   25 = 5

Die Wurzel braucht man immer dann, wenn man sich fragt: Welche Zahl zum Quadrat ergibt ...?
 

   
Dies ist besonders häufig der Fall, wenn es um die Berechnung von quadratischen oder kreisförmigen Grundflächen geht. Ist der Flächeninhalt gegeben und man soll die Länge, die Diagonale oder den Radius der Figur berechnen, benötigt man die Wurzel.

Außerdem ist das Wurzelziehen die Grundlage für das Rechnen mit der vielleicht bekanntesten Formel aus der Mathematik: Dem Satz des Pythagoras!
 
In dieser Lektion lernst du:
1.Wie man die Wurzel einer Zahl ermittelt.
2.Dass Wurzelzahlen meist "irrational" sind.
3.Dass es nicht von jeder Zahl die Wurzel gibt.
4.Und wie man quadratische Gleichungen löst.
 
Die Quadratwurzel
Die Quadratwurzel ist die mathematische Gegenoperation zum Quadrieren. "Quadrieren rückwärts" sozusagen.

Das Gegenteil von Plus ist Minus, das Gegenteil von Mal ist Geteilt. Und umgekehrt.

Und nun Quadrieren und Wurzelziehen.

42 = 16    →    daher ist die Wurzel aus 16:  16 = 4

72 = 49    →    daher ist die Wurzel aus 49:  49 = 7

102 = 100  →    daher ist die Wurzel aus 100: 100 = 10
 

     
Wurzelziehen:

Welche Zahl zum Quadrat ergibt ... ?
Irrationale Zahlen
Wenn man die Wurzel einer Zahl sucht, geht es immer um die Frage: Welche Zahl zum Quadrat ist .... ?

Diese Frage ist für Quadratzahlen leicht zu beantworten:

Welche Zahl zum Quadrat ist 36?  6 natürlich.
Welche Zahl zum Quadrat ist 64?  8, ganz klar.
Was ist die Wurzel von 16?  4!
 








... 2 = 2  ???



Diese Zahlen,
die hinter dem Komma nie aufhören, aber auch keine Periode haben, heißen
irrational (unbegreiflich).





Merke:
Die reellen Zahlen R
Die Rationalen Zahlen Q und die neuen Irrationale Zahlen sind zusammen die "Reellen Zahlen" R.
Aber die Quadratzahlen sind ja nur ein kleiner Teil aus der Gesamtmenge aller Zahlen. Wie sieht es aus, wenn ich die Frage für andere Zahlen stelle?

Was ist die Wurzel aus 2?  bzw.:
Welche Zahl zum Quadrat ergibt 2?

Die Frage ist durchaus berechtigt! Stelle dir ein Quadrat mit 2 cm2 Flächeninhalt vor. Wie groß ist dann, bitte schön, seine Seitenlänge a? (a2 = 2 cm)
 
Wenn du mit dem Taschenrechner herum probierst, wirst du feststellen, dass die gesuchte Zahl zwischen 1 und 2 liegen muss, weil 12 = 1 und 22 = 4 ergibt.

Im nächsten Schritt wirst du herausfinden, dass sie zwischen 1,4 und 1,5 liegt, weil 1,42 = 1,96 und 1,52 = 2,25 ist. Und so geht es weiter .... EWIG!

Denn: Diese Zahl, die zum Quadrat 2 ergibt, kann man nicht genau bestimmen!

Du kannst sie ziemlich genau bestimmen, aber nie ganz genau! Du bräuchtest unendlich viele Stellen hinter dem Komma dazu! Sie hört nie auf!
 
Die Wurzel mit dem Taschenrechner bestimmen
Dieses Herum-Probieren, um die Wurzelzahl möglichst genau einzugrenzen, kann der Taschenrechner viel besser als wir. Deshalb gibt es auf ihm eine Wurzeltaste: [  ]

Versuche es einmal:

0 = ???    →      0
1 = ???    →      1
2 = ???    →      1,414213562...
3 = ???    →      1,732050808...
4 = ???    →      2
5 = ???    →      2,236067978...
 

Bedenke aber immer, dass auch der Taschenrechner dir nicht wirklich die richtige Zahl liefert, sondern nur eine – wenn auch recht genaue – Näherung.

Wer es ganz exakt will, gibt nicht diesen Näherungswert an, sondern schreibt die Zahl symbolisch als 2, oder 3 usw.
 
Die Wurzel aus negativen Zahlen ....
... gibt es nicht!  :O)  Warum?

-4 = ??? 

Hier ist die Zahl gesucht, die zum Quadrat -4 ergibt. Welche Zahl soll das sein? 2 ist es nicht, denn 22 = +4. Und -2 ist es auch nicht, denn auch (-2)2 = +4!

Überhaupt kann es keine positive Zahl sein, weil bei denen nie ein Minus beim Quadrieren entsteht. Und es kann auch keine negative Zahl sein, weil bei ihnen das Minus beim Quadrieren wieder zu Plus wird.

Also: -4 gibt es nicht! Und auch nicht -5 usw.

-4 = nicht definiert!
 
       
Die Wurzel aus
einer negativen Zahl
ist nicht definiert.
Das Lösen einer quadratischen Gleichung
Bisher haben wir immer nur lineare Gleichungen gelöst, z.B.:

4x + 3 = 11

Hierzu haben wir die Gleichung solange umgeformt, bis sie in der Form  x = ...  vor uns lag.
 










Merke:
Quadratrische Gleichungen haben immer zwei Lösungen.
x2 = 9 |  
x = 3  ˅  x = -3  →  L = {-3;3}
Nun können wir auch die Wurzel ziehen und sind daher im Stande, auch quadratische Gleichungen zu lösen:

4x2 + 3 = 39

Wir beginnen mit den üblichen Umformungen:

4x2 + 3 = 39  | – 3
4x2 = 36  | : 4
x2 = 9

Nun müssen wir von x2 zu x kommen. Also: Wurzelziehen.

x2 = 9  |   
x = 3       
FALSCH!
 
Oder zumindest: Nicht ganz richtig! Welche Zahl zum Quadrat = 9? 3 ist schon richtig, aber da gibt es noch eine: die -3!

x2 = 9  |   
x = 3  ˅  x = -3  →  L = {-3;3}   

Und so ist das immer bei quadratischen Gleichungen: Sie haben zwei Lösungen.
 
Beispiel 2:

3x2 – 4 = 2,75  | + 4
3x2 = 6,75  | : 3
x2 = 2,25  |   
x = 1,5  ˅  x = -1,5  →  L = {-1,5;1,5}
 

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