Bei quadratischen Termen interessiert man sich vor allem für den Extremwert. Viele Aufgaben in der 10. Klasse und auch viele Fragestellungen in Wirtschaft und Wissenschaft löst man, indem man diesen kleinsten bzw. größten Punkt einer Parabel ermittelt.

Die quadratische Ergänzung ist ein Rechenverfahren, das es ermöglicht, den Extremwert zu berechnen.

Quadratische Terme sind meistens in der allgemeinen Form angegeben.

y = 2x² – 4x + 5 

Auf diese Art kann man wunderbar mit dem Term rechnen. Den Extremwert erkennt man hier aber nicht.

Nun kann man quadratische Terme aber auch in der Scheitelform angeben:

y = 2·(x – 1)² + 3

Dies ist der gleiche Term wie oben. Das siehst du sofort, wenn du die Klammer wieder auflöst:

2·(x – 1)² + 3 =
2·(x² – 2x + 1) + 3 =
2x² – 4x + 5

Die Scheitelform sieht zunächst komplizierter aus. Vorteil ist aber: Man kann den Extremwert bzw. den Scheitelpunkt direkt ablesen:

Dieser Term hat seinen Scheitelpunkt bei S(1 | 3). Der Scheitelpunkt ist der Punkt, an dem die Parabel umkehrt. Es ist also der niedrigste bzw. der höchste Punkt der Parabel. Für x = 1 hat unsere Parabel ihren tiefsten Wert (ihr Minimum) bei y = 3.

Weitere Beispiele:

y = 3·(x – 4)² + 6      S(4 | 6)
y = 4·(x – 2)² – 5      S(2 | -5)
y = 2·(x + 3)² + 1      S(-3| 1)

Wie du siehst, ist der x-Wert des Scheitelpunktes die Zahl in der Klammer aber mit umgekehrtem Vorzeichen. Der y-Wert des Scheitelpunktes ist die Zahl hinter der Klammer mit richtigem Vorzeichen.

y = 2·(x + 3)² + 4      S(-3 | 4)  Minimum
y = -2·(x + 3)² + 4      S(-3 | 4)  Maximum

Die Zahl vor der Klammer hat nur insofern eine Bedeutung, als sie positiv oder negativ ist. Bisher war sie immer positiv. In diesem Fall ist die Parabel nach oben offen, also hat sie bei ihrem Extremwert ein Minimum. Sie ist dort am tiefsten Punkt.

Ist die Zahl vor der Klammer negativ, hat die Parabel an ihrem Extremwert ein Maximum. Es ist dann ihr höchster Punkt.

y = 0,5·(x + 3)² + 4      S(-3 | 4)
Die Parabel hat für x = -3 ein Minimum bei y = 4.

y = -2·(x + 5)² – 3  S(-5 | -3)
Die Parabel hat für x = -5 ein Maximum bei y = -3.

Um nun für einen beliebigen quadratischen Term, z.B.  x² + 6x + 4  den Scheitelpunkt angeben zu können, wandelt man ihn zunächst in die Scheitelform um und liest dann den Scheitelpunkt einfach ab.

Weil man dazu eine Klammer im Quadrat erzeugen möchte ( ..... )², muss man die Binomischen Formeln rückwärts anwenden.

y = x² + 6x + 4 = ( ..... )² + ...

Nun ist das aber überhaupt keine Binomische Formel! Es wäre eine, wenn die letzte Zahl anders hieße:

y = x² + 6x + 9        Dies ergäbe y = (x + 3)²

Diese Idee nutzt man aus: Man schreibt sich selbst die passende Zahl hin, damit es eine Binomische Formel ergibt, zieht sie aber später, hinter der binomischen Formel, wieder ab:


x² + 6x + 4  =
x² + 6x + 9  – 9 + 4  =
(x + 3)²  – 9 + 4  =
(x + 3)² – 5

Fertig!  S(-3 | -5)
Minimum bei x = -3 mit y = - 5.

Wie kommt man auf die 9, die man hinzuaddieren muss? Es ist immer die Hälfte von der Zahl vor dem x, zum Quadrat: Vor dem x steht die 6. Die Hälfte ist 3. Zum Quadrat: 9

In die Klammer kommt dann die Zahl ohne das Quadrat, also hier die 3.

Zweites Beispiel:

Wir sollen den Extremwert von x² – 4x + 7 berechnen.

x² – 4x + 7  =
x² – 4x + 4  – 4 + 7  =
(x – 2)² + 3                  S(2 | 3)

Die Parabel hat bei x = 2 ein Minimum mit y = 3.

Wie geht man vor, wenn eine Zahl vor dem x² steht?

y = 3x² + 30x + 84

Die Methode von oben können wir leider nur anwenden, wenn dort nichts steht. Daher müssen wir die Zahl vor dem x² ausklammern.

3x² + 30x + 84  =
3 · [x² + 10x] + 84 

In den Klammern haben wir nun wieder die gleichen Verhältnisse wie zuvor und können auch genauso vorgehen, also mi Hilfe einer Quadratischen Ergänzung eine Binomische Formel basteln:

3 · [x² + 10x] + 84  =
3 · [x² + 10x + 25  – 25] + 84 =
3 · [(x + 5)²  – 25] + 84

Die quadratische Klammer ist fertig. Nun muss die äußere Klammer wieder aufgelöst werden.

3 · [(x + 5)²  – 25] + 84  =
3·(x + 5)²  – 75 + 84  =
3·(x + 5)² + 9                  S(-5 | 9)

Die Parabel hat ein Minimum bei x = -5 mit y = 9.

Zweites Beispiel:

Wir sollen den Extremwert von 2x² – 12x + 15 berechnen.

2x² – 12x + 15  =
2 · [x² – 6x]  + 15  =
2 · [x² – 6x + 9  – 9]  + 15  =
2 · [(x – 3)²  – 9]  + 15  =
2·(x – 3)²  – 18  + 15  =
2·(x – 3)² – 3                S(3 | -3)

Minimum bei x = 3 mit y = -3.

Letztes Beispiel:

y = -4x² + 4x + 5          (Minuszahl vor dem x²)

-4x² + 4x + 5  =
-4 · [x² – x]  + 5  =
-4 · [x² – x + 0,25  – 0,25]  + 5  =
-4 · [(x – 0,5)²  – 0,25]  + 5  =
-4·(x – 0,5)²  + 1 + 5  =
-4·(x – 0,5)² + 6              S(0,5 | 6)

Maximum bei x = 0,5 mit y = 6.