mathepanik.de

Lektion
Die quadratische Ergänzung

Lese den Scheitelpunkt ab und gib Lage und Art des Extremwertes an.

1.1	y = (x – 3)² + 1	Lösung S(3 \| 1) Die Parabel hat ein Minimum bei x = 3 mit y = 1.

1.2	y = (x – 0,25)² + 0,5	Lösung S(0,25 \| 0,5) Die Parabel hat ein Minimum bei x = 0,25 mit y = 0,5.

1.3	y = 4·(x – 1)² – 3	Lösung S(1 \| -3) Die Parabel hat ein Minimum bei x = 1 mit y = -3.

1.4	y = 2·(x + 1)² + 4	Lösung S(-1 \| 4) Die Parabel hat ein Minimum bei x = -1 mit y = 4.

1.5	y = 0,5·(x – 1)² – 2	Lösung S(1 \| -2) Die Parabel hat ein Minimum bei x = 1 mit y = -2.

1.6	y = -2·(x – 6)² + 0,5	Lösung S(6 \| 0,5) Die Parabel hat ein Maximum bei x = 6 mit y = 0,5.

1.7	y = -3·(x + 0,5)² – 0,1	Lösung S(-0,5 \| -0,1) Die Parabel hat ein Maximum bei x = -0,5 mit y = -0,1.

1.8	y = (x – 7)² – 3,5	Lösung S(7 \| -3,5) Die Parabel hat ein Minimum bei x = 7 mit y = -3,5.

1.9	y = -(x + 3)² – 3	Lösung S(-3 \| -3) Die Parabel hat ein Maximum bei x = -3 mit y = -3.

Und das Gleiche noch einmal, aber etwas tüfteliger.

2.1	y = -2·(x – 5)²	Lösung S(5 \| 0) Die Parabel hat ein Maximum bei x = 5 mit y = 0. Die Zahl hinter der Klammer fehlt, ist also Null.

2.2	y = 3·(x + 0,2)²	Lösung S(-0,2 \| 0) Die Parabel hat ein Minimum bei x = -0,2 mit y = 0.

2.3	y = 4x² + 6	Lösung S(0 \| 6) Die Parabel hat ein Minimum bei x = 0 mit y = 6. Die Zahl in der Klammer fehlt, ist also Null: 4·(x + 0)² + 6

2.4	y = -3x² – 2	Lösung S(0 \| 2) Die Parabel hat ein Maximum bei x = 0 mit y = -2.

2.5	y = 2·(4 + x)² + 1	Lösung S(-4 \| 1) Die Parabel hat ein Minimum bei x = -4 mit y = 1.

2.6	y = 2 + x²	Lösung S(0 \| 2) Die Parabel hat ein Minimum bei x = 0 mit y = 2. Die Zahl in der Klammer ist Null. Die Zahl außerhalb der Klammer ist 2.

2.7	y = 5 - x²	Lösung S(0 \| 5) Die Parabel hat ein Maximum bei x = 0 mit y = 5.

Forme den Term mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelform um und bestimme den Extremwert.

3.1	y = x² + 4x + 5	Lösung x² + 4x + 5 = x² + 4x + 4 – 4 + 5 = (x + 2)² – 4 + 5 = (x + 2)² + 1 S(-2 \| 1) Minimum bei x = -2 mit y = 1.

3.2	y = x² + 6x – 3	Lösung x² + 6x – 3 = x² + 6x + 9 – 9 – 3 = (x + 3)² – 9 – 3 = (x + 3)² – 12 S(-3 \| -12) Minimum bei x = -3 mit y = -12.

3.3	y = x² + 10x + 18	Lösung x² + 10x + 18 = x² + 10x + 25 – 25 + 18 = (x + 5)² – 25 + 18 = (x + 5)² – 7 S(-5 \| -7) Minimum bei x = -5 mit y = -7.

3.4	y = x² – 2x + 4	Lösung x² – 2x + 4 = x² – 2x + 1 – 1 + 4 = (x – 1)² – 1 + 4 = (x – 1)² + 3 S(1 \| 3) Minimum bei x = 1 mit y = 3.

3.5	y = x² – x – 3	Lösung x² – x – 3 = x² – x + 0,25 – 0,25 – 3 = (x – 0,5)² – 0,25 – 3 = (x – 0,5)² – 3,25 S(0,5 \| -3,25) Minimum bei x = 0,5 mit -3,25.

3.6	y = x² + 3x – 5	Lösung x² + 3x – 5 = x² + 3x + 2,25 – 2,25 – 5 = (x + 1,5)² – 7,25 S(-1,5 \| -7,25) Minimum bei x = -1,5 mit y = -7,25.

3.7	y = x² + 4x + 4	Lösung x² + 4x + 4 = x² + 4x + 4 = (x + 2)² S(-2 \| 0) Minimum bei x = -2 mit y = 0.

3.8	y = x² – 6x	Lösung x² – 6x = x² – 6x + 9 – 9 = (x – 3)² – 9 S(3 \| -9) Minimum bei x = 3 mit y = -9.

Bestimme den Extremwert.
Quadratische Ergänzung mit Ausklammern.

4.1	y = 2x² + 12x + 1	Lösung 2x² + 12x + 1 = 2 · [x² + 6x] + 1 = 2 · [x² + 6x + 9 – 9] + 1 = 2 · [(x + 3)² – 9] + 1 = 2·(x + 3)² – 18 + 1 = 2·(x + 3)² – 17 S(-3 \| -17) Minimum bei x = -3 mit y = -17.

4.2	y = 3x² – 24x + 15	Lösung 3x² – 24x + 15 = 3 · [x² – 8x] + 15 = 3 · [x² – 8x + 16 – 16] + 15 = 3 · [(x – 4)² – 16] + 15 = 3·(x – 4)² – 48 + 15 = 3·(x – 4)² – 33 S(4 \| -33) Minimum bei x = 4 mit y = -33.

4.3	y = 0,5x² + x – 5	Lösung 0,5x² + x – 5 = 0,5 · [x² + 2x] – 5 = 0,5 · [x² + 2x + 1 – 1] – 5 = 0,5 · [(x + 1)² – 1] – 5 = 0,5·(x + 1)² – 0,5 – 5 = 0,5·(x + 1)² – 5,5 S(-1 \| -5,5) Minimum bei x = -1 mit y = -5,5

4.4	y = 4x² – 12x + 20	Lösung 4x² – 12x + 20 = 4 · [x² – 3x] + 20 = 4 · [x² – 3x + 2,25 – 2,25] + 20 = 4 · [(x – 1,5)² – 2,25] + 20 = 4·(x – 1,5)² – 9 + 20 = 4·(x – 1,5)² + 11 S(1,5 \| 11) Minimum bei x = 1,5 mit y = 11.

4.5	y = 1,5x² + 6x + 14	Lösung 1,5x² + 6x + 14 = 1,5 · [x² + 4x] + 14 = 1,5 · [x² + 4x + 4 – 4] + 14 = 1,5 · [(x + 2)² – 4] + 14 = 1,5·(x + 2)² – 6 + 14 = 1,5·(x + 2)² + 8 S(-2 \| 8) Minimum bei x = -2 mit y = 8.

4.6	y = 2,5x² + 7,5x	Lösung 2,5x² + 7,5x = 2,5 · [x² + 3x] = 2,5 · [x² + 3x + 2,25 – 2,25] = 2,5 · [(x + 1,5)² – 2,25] = 2,5·(x + 1,5)² – 5,625 S(–1,5 \| -5,625) Minimum bei x = -1,5 mit y = -5,625.

Hier muss ein negativer Faktor ausgeklammert werden

5.1	y = -2x² + 20x – 40	Lösung -2x² + 20x – 40 = -2 · [x² – 10x] – 40 = -2 · [x² – 10x + 25 – 25] – 40 = -2 · [(x – 5)² – 25] – 40 = -2·(x – 5)² + 50 – 40 = -2·(x – 5)² + 10 S(5 \| 10) Maximum bei x = 5 mit y = 10.

5.2	y = -3x² – 18x	Lösung -3x² – 18x = -3 · [x² + 6x] = -3 · [x² + 6x + 9 – 9] = -3 · [(x + 3)² – 9] = -3·(x + 3)² + 27 S(-3 \| 27) Maximum bei x = -3 mit y = 27.

5.3	y = -0,5x² + x + 9	Lösung -0,5x² + x + 9 = -0,5 · [x² – 2x] + 9 = -0,5 · [x² – 2x + 1 – 1] + 9 = -0,5 · [(x – 1)² – 1] + 9 = -0,5·(x – 1)² + 0,5 + 9 = -0,5·(x – 1)² + 9,5 S(1 \| 9,5) Maximum bei x = 1 mit 9,5.

5.4	y = -x² + 12x – 45	Lösung -x² + 12x – 45 = -[x² – 12x] – 45 = -[x² – 12x + 36 – 36] – 45 = -[(x – 6)² – 36] – 45 = -(x – 6)² + 36 – 45 = -(x – 6)² – 9 S(6 \| -9) Maximum bei x = 6 mit y = -9.

5.5	y = -1,5x² – 7,5x	Lösung -1,5x² – 7,5x = -1,5 · [x² + 5x] = -1,5 · [x² + 5x + 6,25 – 6,25] = -1,5 · [(x + 2,5)² – 6,25] = -1,5·(x + 2,5)² + 9,375 S(-2,5 \| 9,375) Maximum bei x = -2,5 mit y = 9,375.

5.6	y = -3x² + 9	Lösung -3x² + 9 S(0\| 9) Maximum bei x = 0 mit y = 9. Ablesen! Keine Rechnung notwendig.

Unbedingt darauf achten, dass sich bei einem Minus vor der Klammer die Zeichen in der Klammer umkehren.