Lektion
   Gleichungen mit Klammern   
Worum geht es?
Bisher waren die Terme, aus denen wir eine Gleichung gebastelt haben, noch recht einfach. Da du inzwischen aber auch Formeln mit Klammern beherrschst, können auch solche, doch recht komplexen Terme für Gleichungen hergenommen werden. Du erinnerst dich: Eine Gleichung ergibt sich immer, wenn du weißt, was herauskommt und das x finden willst, das man dazu einsetzen muss.
 


        
Viele von den Gleichungen in dieser Lektion sind so komplex, dass du sie in deinem ganzen Leben nie wieder sehen wirst. Betrachte es einfach als sportliche Heraus-forderung. :O)
In dieser Lektion lernst du
1.Gleichungen mit einfachen Klammern zu lösen.
2.Gleichungen mit komplizierten Klammern.
3.Gleichungen mit Binomischen Formeln.


 
Gleichungen mit einfachen Klammern
Wie war noch mal die Reihenfolge beim Lösen einer Gleichung?

1. Gleichung vereinfachen.
2. Alle x auf eine Seite.
3. Gleichung nach x auflösen.

Nun kommt noch ein Schritt ganz am Anfang dazu: 

0. Klammern auflösen.

Im Prinzip gehört er natürlich auch zu Punkt 1. Aber du wirst sehen, er kann recht aufwendig sein. Auf jeden Fall musst du dir merken:

Als allererstes: Klammern auflösen.
 
Reihenfolge:
0. Klammern auflösen.
1. Gleichung vereinfachen.
2. Alle x auf eine Seite.
3. Gleichung nach x auflösen.







WICHTIG:   

Den Term vor der Klammer mit ALLEN Termen in der Klammer malnehmen!!!





Beispiel 1:

3 · (5x + 7) – 13 + x = 40

Klammer auflösen, also ausmultiplizieren!

15x + 21 – 13 + x = 40

Vereinfachen und Gleichung lösen:

16x + 8 = 40  | – 8
16x = 32  | : 16
x = 2            L = {2}
 
Beispiel 2:

(x – 6) · 4 + 2 · (x + 7) = 3 · (x – 1)


4x – 24  +  2x + 14  =  3x – 3
6x – 10 = 3x – 3  | – 3x
3x – 10 = -3  | + 10
3x = 7  | : 3
x = 
7
3
            L = {
7
3
}
 
Term mal Klammer
Ob es heißt  3 · (2x + 4) oder  3x · (2x + 4) sollte keinen großen Unterschied machen, oder?

Oh doch! Denn im zweiten Fall entsteht ein x2, und wie wir mit dem umgehen sollen beim Lösen einer Gleichung, das wissen wir noch nicht:
 




In der 8. Klasse
fallen die x2-Terme
IMMER weg!!!



Wenn sie bei dir einmal nicht wegfallen, hast du dich verrechnet. Nicht weiterrechnen, denn alles wird komplett falsch werden! Null Punkte!  Suche den Fehler und korrigiere ihn!


Du kannst die x2-Terme auch wegstreichen, wenn sie sich aufheben:
 6x 2 – 7x + 3 =  6x 2 + 17 






3x · (2x + 4) – 5x + 3 = 8

6x2 + 12x – 5x + 3 = 8
6x2 + 7x + 3 = 8

Und jetzt? Es geht nicht weiter! Wir können bisher nur lineare Gleichungen lösen. Gleichungen, bei denen nur ein normales x vorkommt. Das hier ist aber eine quadratische Gleichung! Eine mit x2. Und die wird erst in der 10. Klasse behandelt.

Deshalb sind die Aufgaben, die wir in der 8. Klasse lösen, immer so ausgesucht und so gestellt, dass im Endeffekt die entstehenden x2-Terme wieder wegfallen:
 
3x · (2x + 4) – 5x + 3 = 6x2 + 17


6x2 + 12x – 5x + 3 = 6x2 + 17
6x2 – 7x + 3 = 6x2 + 17  | – 6x2
-7x + 3 = 17


Heureka! Die x2-Terme sind weg!

Auf diese Art gelangen wir wieder zu einer normalen Gleichung, die wir lösen können!


-7x + 3 = 17  | – 3
-7x = 14  | : (-7)
x = -2            L = {-2}
 
Klammer mal Klammer
(2x – 4) · (x + 3) = 5x + 2x2

Nichts Neues hier! Wir multiplizieren die Klammern aus und sehen zu, dass die entstehenden x2-Terme wieder wegfallen:


2x2 + 6x – 4x – 12 = 5x + 2x2
2x2 + 2x – 12 = 5x + 2x2  | -2x2
2x – 12 = 5x  | – 5x
-3x – 12 = 0  | + 12
-3x = 12  | : (-3)
x = -4            L = {-4}
 
WICHTIG:

ALLE Terme aus der ersten Klammer mit ALLEN Termen aus der zweiten Klammer malnehmen.







Beispiel 2:

(2x + 3) · (x – 2) · (2x + 4) = 4x3 + 6x2 

Erste Klammer mal zweite Klamme. Erst in einem späteren Schritt mal die dritte.


(2x2 – 4x + 3x – 6) · (2x + 4) = 4x3 + 6x2
(2x2 – x – 6) · (2x + 4) = 4x3 + 6x2
4x3 + 8x2 – 2x2 – 4x – 12x – 24 = 4x3 + 6x2
4x3 + 6x2 – 16x – 24 = 4x3 + 6x2  | – 4x3 – 6x2
-16x – 24 = 0  | + 24
-16x = 24 | :(-16)
x = -
2
3
            L = {-
2
3
}
 
Gleichungen mit Binomischen Formeln
Jaja, nichts lassen diese Mathematiker aus, um einen zu ärgern. Jetzt auch noch BiFos. Dabei dachtest du, du hättest die endlich hinter dir. Aber ganz im Ernst: Du wirst sie immer wieder brauchen, also unbedingt auswendig lernen!

(x – 4)2 + (x + 3)2 – 2x2 + 4 = 12


x2 – 8x + 16  +  x2 + 6x + 9  – 2x2 + 4 = 12
2x2 – 2x + 25 – 2x2 + 4 = 12
-2x + 29 = 12  | - 29
-2x = -17  | :(-2)
x = 8,5            L = {8,5}
 
Die Binomischen Formeln
(a + b)2  =  a2 + 2ab + b2
(a – b)2  =  a2 – 2ab + b2
(a + b)·(a – b)  =  a2 – b2



Hier heben sich das x2 bereits auf der gleichen Seite auf.
Alles zusammen: Geschüttelt, nicht gerührt!
(3x + 4)2 – 2x · (3x + 6) = 3 · [(x + 5) · (x – 5)] – 5


9x2 + 24x + 16 – 6x2 – 12x = 3 · (x2 – 25) – 5 
3x2 + 12x + 16 = 3x2 – 75 – 5 
3x2 + 12x + 16 = 3x2 – 80  | - 3x2
12x + 16 = -80  | – 16
12x = -96  | :12
x = -8            L = {-8}
 


– 6x2 nicht + 6x2 !!!


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