Lektion
   Bruchterme vereinfachen   
Worum geht es?
Auch Bruchterme können unnötig kompliziert sein, nachdem sie erstellt wurden. Bevor man mit ihnen rechnet, vereinfacht man sie.
 
In dieser Lektion lernst du
1.Bruchterme kürzen.
2.Bruchterme multiplizieren und dividieren.
3.Bruchterme addieren und subtrahieren.
 
Bruchterme kürzen
Genauso wie einen normalen Zahlenbruch, möchte man auch einen Bruchterm durch Kürzen vereinfachen, wenn dies möglich ist.

16
24
  =  
 16 2
 24 3
  =  
2
3

2x
4x2
  =  
 2x 1
 4 x 2 
  =  
1
2x
 








  Durch Summen
  kürzen nur
  die Dummen!  ;O)
  





Zum Kürzen braucht man ein Produkt!
Allerdings muss man darauf achten, dass man nicht Teile aus einer Summe oder Differenz heraus kürzt!

x + 1
x


Hier darf NICHT gekürzt werden!!!

Man darf nur ganze Zähler oder Nenner wegkürzen. NIE einen Teil aus einer Summe oder Differenz!
 
ABER 

Man darf kürzen, wenn man ein Produkt vor sich hat. Von einem Produkt dürfen gerne Teile gekürzt werden.

x · (x + 1)
3x
  =  
 x  · (x + 1)
 x 
  =  
x + 1
3


Hier darf man das x kürzen, weil es in Zähler und Nenner Teil eines Produktes ist.
 
Tricks zum Kürzen
Man darf also Nichts aus einer Summe heraus kürzen, sehr wohl aber aus einem Produkt. Logische Folgerung: Wo immer es geht, versucht man aus einer Summe ein Produkt zu machen. Hierzu gibt es zwei Tricks, die wir bereits bei der Definitionsmenge angewandt haben:
 
Merke:
Mache zuerst aus der Summe ein Produkt: 
durch Ausklammern  oder
durch eine Binomische Formel
Erst dann darfst du kürzen!




1. Ausklammern

3x + x2
12x
  =  
x·(3 + x)
12x
  =  
 x  ·(3 + x)
12  x 
  =  
3 + x
12
 

 
x2 – 4x
x – 4
  =  
x·(x – 4)
x – 4
  =  
x ·  (x – 4) 
 x – 4 
  =  x
 
2. Binomische Formeln

x2 + 2x + 1
x + 1
  =  
(x + 1)2
x + 1
  =  
(x + 1) 2 
 x + 1 
  =   x + 1


4x – 6
4x2 – 12x + 9
  =  
2·(2x – 3)
(2x – 3)2
  =  
2·  (2x – 3) 
(2x – 3) 2 
  =  
2
2x – 3
 
Bruchterme multiplizieren und dividieren
Bruchterme werden genauso multipliziert und dividiert wie normale Brüche:

1. Kürzen so weit wie möglich
2. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner

4
15
 · 
25
8
  = 
 4 1
 15 3
 · 
 25 5
 8 2
  =  
5
6
 
Bruchterme multiplizieren:

1. Kürzen so weit wie möglich
2. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner



Schwierig?  Absolut!!!

Vielleicht das schwierigste Thema im ganzen Jahr!




    
Bruchterme dividieren:

Mit dem Kehrbruch multiplizieren
6
x2
 · 
2x
15
  =  
 6 2
 2 
 · 
 x 
 15 5
  =  
4
5x


x2 + 2x
5x
 · 
x2
x2 + 4x + 4
  =  
x·(x + 2)
5x
 · 
x2
(x + 2)2
   

     = 
x·  (x + 2) 
 x 
 · 
x2
(x + 2)  2 
  =  
 x2
5·(x + 2)
 
Teilen:

Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

3
4x2
 : 
9
5x
  =  
3
4x2
 · 
5x
9
  =  
 3 1
4x  2 
 · 
 x 
 9 3
  =  
5
12x
 
Bruchterme addieren und subtrahieren
Wieder die gleiche Technik wie bei normalen Zahlenbrüchen: Den Hauptnenner finden und dann die Zähler addieren.

3
4
 + 
2
5
  =  
3 · 5 + 2 · 4
4 · 5
  =  
15 + 8
20
  =  
23
20
 







Bruchterme addieren:

Den Hauptnenner finden und dann die Zähler addieren.
Den Hauptnenner findest du in der Regel,
indem du beide Nenner miteinander malnimmst.

3
x
 + 
5
x + 2
  =  
3 · (x + 2) + 5 · x
x · (x + 2)
  =  
3x + 6 + 5x
x·(x + 2)
  =  
8x + 6
x2 + 2x


Der erste Bruch wurde mit x + 2 erweitert, deshalb muss oben mit x + 2 multipliziert werden. Der zweite Bruch wurde mit x erweitert, deshalb muss oben mit x multipliziert werden.

4x
x – 3
 – 
x + 4
2x + 1
  =  
4x · (2x + 1) – (x + 4) · (x – 3)
(x – 3)·(2x + 1)
  =  


        
8x2 + 4x – x2 + 3x – 4x + 12
2x2 + x – 6x – 3
  =  
7x2 + 3x + 12
2x2 – 5x – 3
 

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