Lektion
   Bruchterme und Definitionsmenge   
Worum geht es?
Bei Bruchtermen und Bruchgleichungen kommt das x nicht nur "oben" vor, sondern auch "unten", im Nenner. Das macht den Umgang mit diesen Termen und Gleichungen ein gutes Stück schwieriger.

In dieser ersten Lektion lernen wir zunächst eine Eigenart der Bruchterme kennen: Dass man nicht alle Zahlen einsetzen darf. Bei Bruchtermen und Bruchgleichungen muss man sich immer ein paar Gedanken um die Definitionsmenge machen.
 
In dieser Lektion lernst du
1.Was ein Bruchterm ist und was nicht.
2.Wie man die Definitionsmenge bestimmt.
 
Bruchterm oder nicht?
Nicht alles was mit einem Bruchstrich daher kommt, ist auch ein Bruchterm.

1
2
x + 
3
4
x2


Dies ist ein Term mit einem normalen und einem quadratischen x. Die Zahlen vor den Variablen, die "Koeffizienten" sind Brüche. Na und? Also kein Bruchterm.

3
x
 + 
5
x + 1


Yepp! Das ist ein Bruchterm! Warum? Weil das x im Nenner vorkommt. Wenn wir den in einer Gleichung benutzen, wird's unangenehm!
 



Bruchterme 

sind Terme, bei denen ein x im Nenner vorkommt.











   
3x + 1
4 – 2x


Ja!! DiesTerm ist ein Bruchterm. Das x kommt zwar auch im Zähler vor, aber entscheidend ist: Da gibt es ein x im Nenner. Damit ist es ein Bruchterm und braucht eine ganz besondere Behandlung.

x
3


Nein! Kein x im Nenner. Kein Bruchterm.
 
Die Definitionsmenge
Normalerweise darf man bei Termen jede beliebige Zahl in die Variable einsetzen. Dann rechnet man den Term aus und erhält den jeweiligen Termwert.

T(x) = 3x2 + 2x
T(5) = 85

Man sagt: Die Definitionsmenge ist Q, also alle Zahlen. Man darf alle Zahlen einsetzen.

D = Q
 











0 : 5 geht: 0 Euro aufteilen auf 5 Leute: Jeder kriegt 0 Euro.

5 : 0 geht nicht: 5 Euro auf 0 Personen aufteilen? Man kann nicht sagen, was da raus kommt!








  

D = Q \ {5}

D ist Q ohne 5.
Bei Bruchtermen gibt es hier ein Problem:

T(x) = 
10
x – 5
      T(5) = ????

10 geteilt durch Null? Das geht nicht! Man kann nicht durch Null teilen!

Durch Null darf man nicht teilen!
 
Bei Bruchtermen muss man also schauen, bei welcher Zahl für x im Nenner eine Null entstehen würde. Diese Zahl darf man nicht einsetzen.

T(x) = 
10
x – 5


Hier darf man alles einsetzen außer die 5.

D = Q \ {5}

Man liest: D ist gleich Q ohne die 5.
 
Die Definitionsmenge bestimmen
Manchmal sieht man sofort, welche Zahl nicht eingesetzt werden darf.

1
x
     
 
  D = Q \ { 0 }
 5
x – 3
  
 
  D = Q \ { 3 }
 2
x + 6
  
 
  D = Q \ { -6 }
 
Merke:
Die "verbotene" Zahl erkennt man sofort,
oder man erhält sie durch Nebenrechnung:
Nenner = 0 setzen.






Erkennt man die "verbotene" Zahl nicht sofort, muss man in einer kleinen Nebenrechnung ermitteln, wann der Nenner Null wird.

3
3x + 7


3x + 7 = 0  | – 7
3x = -7  | : 3
x = -
7
3
  D = Q \ {-
7
3
}
 
Zweites Beispiel:

2x – 1
5x – 4


5x – 4 = 0  | + 4
5x = 4  | : 5
x = 
4
5
    D = Q \ {
4
5
}
Der Zähler spielt in diesem Zusammenhang keine Rolle.
 
Schwierige Nenner
Bei einigen Nennern braucht man ein paar Tricks, um herauszufinden, wann der Nenner Null wird.
 
Ausklammern
Enthalten alle Teile des Nenners ein x, so kann man dieses ausklammern.

1
4x2 – 3x


4x2 – 3x = x · (4x – 3)

Das Ganze ist nun ein Produkt. Ein Produkt ist aber dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also entweder das x vor der Klammer oder die Klammer selbst:

x = 0 ˅ 4x – 3 = 0 

  ˅ bedeutet "Oder"



Wann die Klammer Null wird, müssen wir noch schnell ausrechnen:

4x – 3 = 0  | + 3
4x = 3  | : 4
x = 0,75

Damit darf x also nicht 0 sein und nicht 0,75.

D = Q \ {0; 0,75}
 
Diesen Nenner können wir nicht einfach so umformen, dass sich x = ... ergibt. Das Lösen quadratischer Gleichungen lernt man erst in der zehnten Klasse.




Ausklammern:
4x2 – 3x = x · (4x – 3)
x = 0 ˅ 4x – 3 = 0 













zwwweites Beispiel:

x2 + 3
6x2 – 9x


6x2 – 9x = 0
x · (6x – 9) = 0
x = 0 ˅ 6x – 9 = 0  | + 9
       6x = 9  | : 6
       x = 1,5    D = Q \ {0; 1,5}
 
Binomische Formeln
Manchmal kann man kein x ausklammern, hat jedoch Glück, dass es sich bei dem Nenner um eine Binomische Formel handelt:
3
x2 – 8x + 16


x2 – 8x + 16 = 0
(x – 4)2 = 0
x – 4 = 0  | + 4
x = 4    D = Q \ {4}
 


Binomische Formeln:
x2 – 8x + 16 = 0
(x – 4)2 = 0




Hier brauchst du etwas Übung im Umgang mit Binomischen Formeln.
Ein zweites Beispiel:

2x2 + 5
4x2 + 12x + 9


4x2 + 12x + 9 = 0
(2x + 3)2 = 0
2x + 3 = 0  | – 3 : 2
x = -1,5    D = Q \ {-1,5}
 

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