Lektion
   Bruchgleichungen   
Worum geht es?
Inzwischen bist du der Meister der Bruchterme! Deshalb wird es dir nicht schwer fallen, aus diesen Bruchtermen Gleichungen zu bilden und zu lösen!! :O)

Allerdings musst du dazu ein, zwei neue Techniken lernen.
 
In dieser Lektion lernst du
1.Wie man unterschiedliche Arten von Bruchgleichungen löst.
 
Wie man den Nenner erledigt
14
x – 3
 = 2


Beim Lösen einer Gleichung formen wir sie so lange um, bis irgendwann einmal x = ... herauskommt. Das Dumme ist hier aber: Das x steht im Nenner.

Deshalb stellt sich die Frage: 

Wie bekommt man das x nach oben?
 









Merke:
Nenner entfernt man, indem man die ganze Gleichung mit ihnen multipliziert.









Einfache Antwort: 

Nenner kürzen sich weg, wenn du die ganze Gleichung mit ihnen multiplizierst! 

14
x – 3
 = 2  | · (x – 3)


14 · (x – 3)
x – 3
 = 2 · (x – 3)


14 = 2 · (x – 3)

SIEG!!! Die Bruchgleichung hat sich in eine normale Gleichung verwandelt.

Wenn wir beide Seiten mit (x – 3) malnehmen, kürzt sich der Nenner auf der linken Seite weg und es bleibt die einfache 14 stehen. Auf der rechten Seite gibt es nichts zum wegkürzen, also bleibt 2 · (x – 3) stehen.

Die entstehende Gleichung löst du wie immer. Hier wird x = 10 herauskommen.
 
Den Zwischenschritt kannst du dir übrigens sparen
und gleich kürzen:

15
2x + 2
 = 3  | · (2x + 2)


15 = 3 · (2x + 2)

Fertig lösen:

15 = 6x + 6  | – 6 
9 = 6x  | : 6
1,5 = x
 
Und wieder die Definitionsmenge
Hast du die Gleichung schließlich gelöst, gibst du natürlich das Ergebnis als Lösungsmenge an. Aber Achtung: Es könnte ja sein, dass man ausgerechnet das x, das herausgekommen ist, gar nicht einsetzen darf, weil sonst einer der Nenner Null würde.

Deshalb muss man bei jeder Bruchgleichung die Definitionsmenge bestimmen, bevor man die Lösungsmenge angibt. Und nur wenn das x, das man herausbekommen hat, nicht aus der Definitionsmenge ausgeschlossen wurde, ist es auch die Lösungsmenge. Wurde es ausgeschlossen, ist die Lösungsmenge leer.

15
2x + 2
 = 3  ......... 


1,5 = x

D = Q \ {-1}    L = {1,5}
 


     




Es kommt nur sehr selten vor, dass das Ergebnis nicht gleichzeitig die Lösungsmenge ist.
Gleichungen mit zusätzlichen Termen
3
x
 + 2 = 
7
3
 


Hier gibt es noch einen zusätzlichen Mini-Term, der stört. Wie gehen wir vor? Es gibt mehrere Wege. Aber am geschicktesten ist es, zunächst die Gleichung soweit wie möglich zu vereinfachen. Also:– 2 

3
x
 + 2 = 
7
3
  | – 2


3
x
 = 
1
3
  | · x


Nun lässt sich die Gleichung leichter lösen. Mit dem Nenner malnehmen und fertig rechnen.

3 = 
1
3
x  | : 
1
3


9 = x    D = Q \ {0}      L = {9}
 
Gleichungen immer zunächst so weit wie möglich vereinfachen, bevor man mit dem Nenner malnimmt.



Verhältnisgleichungen
Nächster Schritt: Bruchterm = Bruchterm

Solche Gleichungen nennt man Verhältnisgleichungen. Es sind die am häufigsten vorkommenden Bruchgleichungen.

4
x
 = 
3
x – 2


Naja. Wahrscheinlich denkst du dir es schon: Zwei Nenner müssen weg, also mit beiden Nennern malnehmen.

4
x
 = 
3
x – 2
  | · x · (x – 2)


4 · x · (x – 2)
x
 = 
3 · x · (x – 2)
x – 2
 


4 · (x – 2) = 3 · x

SIEG!!! Die Nenner sind weg. Einfach zu Ende lösen und raus kommt x = 8.
 





Wie du siehst, kürzt sich jeweils der eine der beiden Nenner weg. Der andere bleibt, und zwar der, der von der anderen Seite kam. Man könnte auch sagen, die Nenner seien über Kreuz nach oben multipliziert worden.











Bei Verhältnisgleichungen werden die Nenner über Kreuz nach oben multipliziert.
Ein zweites Beispiel

20
x + 1
 = 
24
3x – 6


20
x + 1
 = 
24
3x – 6
  | · (x + 1) · (3x – 6)


20 · (3x – 6) = 24 · (x + 1)

Einfach über Kreuz multiplizieren. Den Zwischenschritt, bei dem man die multiplizierten Nenner oben noch sieht, lässt man normalerweise wieder weg. Fertig rechnen:

60x – 120 = 24x + 24  | – 24x 
36x – 120 = 24  | + 120
36x = 144  | : 36
x = 4      D = Q \ {-1 ; 2}      L = {4}
 
x²-Terme müssen verschwinden
Beim Über-Kreuz-Multiplizieren können leicht x2-Terme entstehen, wie wir gleich sehen werden. Aber wie bei den normalen Gleichungen müssen die sich gegenseitig aufheben, weil wir das Lösen von Gleichungen mit x2 erst in der zehnten Klasse lernen.
 


Wenn die x2-Terme nicht verschwinden hast du dich verrechnet. Nicht weiterrechnen, sondern den Fehler suchen!!!
3x
x + 3
 = 
6x + 3
2x + 2


3x
x + 3
 = 
6x + 3
2x + 2
  | · (x + 3) · (2x + 2)


3x · (2x + 2) = (6x + 3) · (x + 3)
6x2 + 6x = 6x2 + 18x + 3x + 9  | – 6x2
6x = 21x + 9  | – 21x
-15x = 9  | : (-15)
x = -
3
5
    D = Q \ {-3 ; -1}    L = {-
3
5
}
 
Der Trick mit dem Spezial- Nenner
Manchmal scheinen die x2-Terme nicht verschwinden zu wollen.

2x +1
2x
 = 
x + 2
3x
  | · 2x · 3x


(2x + 1)·3x = (x + 2)·2x
6x2 + 3x = 2x2 + 4x

Das Problem ist dadurch entstanden, dass wir mit einem unnötig üppigen Nenner malgenommen haben. Entweder muss man nun die ganze Gleichung durch x dividieren oder gleich zu Beginn mit dem richtigen Nenner multiplizieren:
 

Verschwinden die x2-Terme nicht, gibt es einen einfacheren Hauptnenner, mit dem man multiplizieren kann.





 
2x +1
2x
 = 
x + 2
3x
  | · 6x


(2x +1) · 6x 3
2x
 = 
(x + 2) · 6x 2
3x


(2x + 1) · 3 = (x + 2) · 2
6x + 3 = 2x + 4

Hier reichen 6x, um beide Nenner weg zu kürzen. Es entstehen keine x2-Terme.
 
Zusätzliche Terme
x – 3
2x
+ 1,5 = 
x + 2
x – 1


Dies ist keine Verhältnisgleichung mehr sondern ein gemeineres Ding! Wieder muss mit allen Nennern multipliziert werden, aber Achtung: JEDER Term muss beim Malnehmen berücksichtigt werden!!

x – 3
2x
+ 1,5 = 
x + 2
x – 1
  | · 2x · (x – 1)


(x – 3) · (x – 1) + 1,5 · 2x · (x – 1) = (x + 2) · 2x

Diese Gleichung lässt sich wieder ganz normal lösen. Das sparen wir uns hier. Wichtig ist, dass du nicht vergisst, die Nenner mit der 1,5 zu multiplizieren. Und weil 1,5 selbst keinen Nenner besitzt, kürzt sich da auch nichts weg.
 
Immer ALLE Terme 
mit den Nennern multiplizieren, auch einfache Zahlen.

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