Lektion
   Textaufgaben   
Worum geht es?
Gleichungen und Ungleichungen erhält man, wenn man mit einer Formel etwas berechnen möchte.

In dieser Lektion geht es nun darum, solche Formeln selbst zu erstellen. Wir bekommen ein Problem in Form einer Textaufgabe serviert und suchen nach einer Formel, mit der man das Problem lösen kann. Aus der Formel basteln wir eine Gleichung und lösen sie.
 
In dieser Lektion lernst du
1.Für jedes Problem den richtigen Term zu finden.
2.Aus den Termen eine Gleichung zu basteln.
3.Diese selbst erstellte Gleichung zu lösen.
 
Eine erste Aufgabe
Anna ist halb so alt wie ihr Bruder Thomas. Wenn man das Alter der beiden zusammen zählt, und noch 9 dazu zählt, kommt man auf 30. Wie alt ist Anna?
 







Übersicht:

Anna: x
Bruder: 2·x
Zusammenzählen und 9:\ x + 2·x + 9

Gleichung: x + 2·x + 9 = 30








    
Eine Sachaufgabe
wird immer mit einem Antwortsatz abgeschlossen.
Man kann solche Aufgaben entweder durch geschicktes Tüfteln lösen, oder durch ein systematisches Vorgehen. Dieses systematische Vorgehen wird hier gezeigt.
 
Zunächst einmal überlegt man sich, wonach gefragt wurde. Die gesuchte Größe nennen wir x. Im obigen Beispiel ist x das Alter von Anna.

Dann überlegt man sich Terme für die einzelnen Informationen, die in dem Text vorkommen:

Anna ist halb so alt wie ihr Bruder. Also ist der doppelt so alt wie sie: 2·x

Das Alter der beiden zusammenzählen: x + 2·x

Und noch 9 dazu zählen: x + 2·x + 9
 
Auf diese Art überlegst du dir die richtigen Terme. Zum Schluss suchst du im Text, was herauskommen soll: Hier 30. Das ergibt dann die Gleichung:

x + 2·x + 9 = 30
 
Diese Zusammenstellung der nötigen Terme heißt "Text-Term-Tabelle".

Nun muss man die Gleichung nur noch lösen:


x + 2·x + 9 = 30
3x + 9 = 30  | – 9
3x = 21  | : 3
x = 7

Antwort: Anna ist 7 Jahre alt.
 
Aufgabe 2
Paul lädt seine vier Freunde zum Geburtstag ins Kino ein. Er zahlt die Eintrittskarten und kauft noch für alle zusammen eine Packung Popcorn für 3,50 €. Wie viel hat eine Eintrittskarte gekostet, wenn Paul insgesamt 27,50 € ausgegeben hat?
 
Klar, das Ganze kannst du auch durch geschicktes Tüfteln lösen: Aber mit dieser Methode hier kommt man auch bei den verzwickteren Aufgaben in der 8. Klasse zum Ziel.





 
Die Text-Term-Tabelle:

Eintrittskarte: x
5 Eintrittskarten: 5·x
plus Popcorn: 5·x + 3,50

Gleichung: 5·x + 3,50 = 27,50
 
Diese Gleichung wird nun gelöst:


5 · x + 3,50 = 27,50  | – 3,50
5·x = 24,00  | : 5
x = 4,80


Antwort: Eine Eintrittskarte hat 4,80 € gekostet.
 
Aufgabe 3
Ein Zaun mit einer Länge von 84 m umgibt ein rechteckiges Grundstück. Das Grundstück ist doppelt so lang wie breit. Welche Maße besitzt es?
 



Du hättest natürlich auch die Länge x nennen können. Dann wäre die Breite 0,5·x gewesen. Am Ende kommt das Gleiche raus.





Lass dir Zeit! An solchen Aufgaben muss man arbeiten. Das kann niemand auf Anhieb. Geduld!
Breite: x
Länge: 2·x
Umfang: 2·Länge + 2·Breite: 2·2·x + 2·x

Gleichung: 2·2·x + 2·x = 84
 
Verstehst du so langsam, wie man vorgeht? Ganz langsam Schritt für Schritt einen Term nach dem anderen aufbauen.

Nun wird die Gleichung wieder gelöst.


2·2·x + 2·x = 84
4x + 2x = 84
6x = 84  | : 6
x = 14


Antwort: Das Grundstück ist 28 m lang und 14 m breit.
 
Sachaufgaben für Ungleichungen
Ungleichungen ergeben sich bei Sachaufgaben immer dann, wenn kein fester Betrag genannt wird, der bei der Gleichung herauskommen soll, sondern eine Ober- oder Untergrenze. Es heißt dann: "Wie lang darf das Grundstück höchstens sein?" Oder: "Was hat die Eintrittskarte mindestens gekostet?"
 
Aufgabe 4
Tims Mutter backt eigene Faschingskrapfen. Wie viele Krapfen kann sie höchstens aus 500 g Mehl backen, wenn man pro 10 Krapfen 150 g Mehl braucht und etwa 100 g bei der Backerei verloren gehen?
 
Anzahl Krapfen: x
Mehl pro Krapfen: 150 : 10 = 15
Mehl für die Krapfen: 500 – 100 = 400

Ungleichung: x · 15 ≤ 400

x · 15 ≤ 400 | : 15
x ≤ 26,67

Antwort: Aus dem Mehl kann sie höchstens 26 Krapfen backen.
 

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