Lektion
   Die Potenzgesetze   
Worum geht es?
Statt 3 · 3 · 3 · 3 kann man einfacher auch 34 schreiben.

Wenn man mit solchen Potenzen rechnen muss, zum Beispiel 34 : 32, stellt man fest, dass es wenig Sinn macht, die Potenzen zum Rechnen wieder auszuschreiben.

Vielmehr lohnt es sich, sich ein paar einfache Regeln zu merken, mit denen man die Rechnungen stark abkürzen kann. Diese Regeln heißen Potenzgesetze.
 

         
In dieser Lektion lernst du
1.Potenzen zu multiplizieren und zu dividieren.
2.Potenzen zu potenzieren.
3.Die Bedeutung von negativen Exponenten.
 
Bezeichnungen
Potenzen sind nichts anderes als Abkürzungen:

Statt 4 · 4 · 4 schreibt man 43.
Die 4 wird drei mal mit sich selbst multipliziert.

Das Ganze, also 43 heißt Potenz.
Die Zahl unten heißt Basis.
Die Zahl oben heißt Hochzahl oder Exponent.
 

Potenzen addieren und subtrahieren
24 + 23

Hierfür gibt es keine Abkürzung, keine Regel! Du musst beide Potenzen zuerst getrennt ausrechnen und dann die Ergebnisse addieren. (16 + 8 = 24)

Komm also bitte nicht auf die Idee hier die Hochzahlen zu addieren!!!
 
Potenzen multiplizieren und dividieren
Multiplizieren:

24 · 23   

Hier gibt es eine einfache Regel: 
Die Basis stehen lassen und die Hochzahlen addieren!

24 · 23 = 24 + 3 = 27
 



24 · 23 = 24 + 3





Funktioniert
natürlich nur, wenn beide die gleiche Basis haben!!!



25 : 23 = 25  3
Warum ist das so?

Einfach die Potenzen ausschreiben und man erkennt es sofort:

24 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2  ·  2 · 2 · 2  =  27
Vier Zweien und drei Zweien sind eben 7 Zweien! :O)
 
Dividieren:

25 : 23   

Wieder gibt es eine einfache Regel: 
Die Basis stehen lassen und die Hochzahlen subtrahieren!

25 : 23 = 25  3 = 22
 
Warum ist das so?

Einfach wieder die Potenzen ausschreiben und man erkennt es sofort:

25 : 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2  : ( 2 · 2 · 2) 

Jede Zwei, durch die geteilt wird, "kürzt" eine Zwei von vorne weg. Du siehst es noch deutlicher, wenn du statt Geteilt einen Bruch schreibst.

2 · 2 · 2 · 2 · 2
2 · 2 · 2


Nach dem Kürzen bleiben oben nur noch 2 Zweien übrig.
 
Seltsame Exponenten: 21 ; 20 ; 2-3
Hoch Eins:

Beim Dividieren von Potenzen können seltsame Ergebnisse entstehen:

34 : 33 = 34  3 = 31

Was heißt 31? Nun ja, dass beim Teilen eine einzige Drei übrig bleibt. Also:

31 = 3
 












Hoch Null:

Nächste Kuriosität:    34 : 34 = 34  4 = 30

Was bitte bedeutet 30?

Stelle dir hierzu die Potenzen wieder ausgeschrieben vor:

34 : 34 = 
3 · 3 · 3 · 3
3 · 3 · 3 · 3
 = 1

Alle Dreien kürzen sich weg, es bleiben lauter Einsen stehen, also 1! Ungewöhnlich! Und das hätte mit jeder Zahl so funktioniert, nicht nur mit der 3!

30 = 1  ;  70 = 1  ;  100 = 1  usw.
 
Negative Exponenten

Letzes seltsames Ergebnis:   34 : 36 = 34  6 = 3-2

Hilfe! Was um alles in der Welt soll 3-2 sein???

Wieder die Potenzen ausschreiben, um die Bedeutung zu erkennen:

34 : 36 = 
3 · 3 · 3 · 3
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3
 = 
1
3 · 3
 = 
1
32


Weil durch mehr Dreien geteilt wird, als oben stehen, kürzen sich oben alle Dreien weg. Unten bleiben zwei übrig. Also:

3-2 = 
1
32
 
Potenzen potenzieren
(42)3

Wie rechnet man so etwas? Wieder ausschreiben, um hinter das Geheimnis zu kommen:

42 = 4 · 4

Hoch 3 bedeutet, dass wir diese 4 · 4 drei mal mit sich selbst multiplizieren müssen:

(42)3 = 4 · 4  ·  4 · 4  ·  4 · 4  = 46

Ganz klar: 6 Vieren. Es gibt 3 mal 2 Vieren. Wenn Potenzen potenziert werden, muss man die Hochzahlen malnehmen!

(42)3 = 42 · 3 = 46
 








 
(42)3 = 42 · 3 = 46
Potenzen in Klammern
(2 · 4)3

Natürlich kann man zuerst 4 · 2 = 8 ausrechnen. Wenn man es aber lieber getrennt mag, dann kann man das "Hoch 3" auch einzeln anwenden:

(2 · 4)3 = 23 · 43

Wirklich lohnenswert ist diese Regel eigentlich nur für Variablen (a, b, c, x, y ...), nicht so sehr für Zahlen.
 




(2 · 4)3 = 23 · 43
Beispiele mit Zahlen
53 · 54 = 53 + 4 = 57  (muss man nicht ausrechnen)

106 : 103 = 106  3 = 103 = 1000

5 · 53 = 51 + 3 = 54

74 : 75 = 74  5 = 7-1 = 
1
7
 
(4·6)3 = 43 · 63
 
Hier geht es um die Potenzgesetze. Wenn es zu aufwendig ist, muss man das Ergebnis nicht ausrechnen.
Die Potenzgesetze bei Variablen
Die Potenzgesetze braucht man sehr sehr häufig auch für Variablen. Eigentlich versteht es sich von selbst, wie das geht, hier aber trotzdem ein paar Beispiele:

x2 · x3 = x2 + 3 = x5

y4 : y3 = y4  3 = y1 = y

a3 : a3 = a3  3 = a0 = 1
c4 : c7 = c4  7 = c-3 = 
1
c3
 
(xy)3 = x3y3

(2ab)3 = 23a3b3 = 8a3b3

(-x2y3)2 = +(x2)2·(y3)2 = x4y6
 

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