Eine quadratische Funktion kann nicht nur in der allgemeinen Form angegeben werden, etwa
y = 3x² – 12x + 8, sondern auch in der sogenannten Scheitelform, y = 3·(x – 2)² – 4.

Die Scheitelform ist deshalb interessant, weil man an ihr direkt den Scheitelpunkt ablesen kann, hier zum Beispiel S(2|-4).

Die Scheitelform entsteht, wenn man die Parabel y = ax²  um einen Vektor 

→ v

=

(

xS yS

)

verschiebt.

Zum Beispiel könnte man die Parabel y = 2x² um den Vektor 

→ v

=

(

1 3

)

 verschieben (also um 1 nach rechts und 3 nach oben).

Die Funktionsgleichung wird dadurch von y = 2x² zu:
y = 2·(x – 1)² + 3

Noch ein Beispiel:

Die Parabel y = x² wird um 

→ v

=

(

3 -1

)

 verschoben.
Ergebnis: y = (x – 3)² – 1

Vorteil der Scheitelform:

Der Scheitelpunkt kann direkt abgelesen werden.
Es sind die Koordinaten der Verschiebung.

y = 2·(x – 1)² + 3        → S(1|3)
y = (x – 3)² – 1          → S(3|-1)

Wenden wir unser neues Wissen also an:

Die Funktion y = 0,5x² wird um 

→ v

=

(

2 -4

)

 verschoben. Bestimme Gleichung und Scheitelpunkt der neuen Funktion.

Lsg: y = 0,5·(x – 2)² – 4    S(2|-4)

Die Funktion y = x² wird um 

→ v

=

(

-3 0,5

)

 verschoben.

Lsg: y = (x + 3)² + 0,5    S(-3|0,5)

Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.

y = -0,5(x + 1)2 – 3	Lsg: S(-1	-3)
y = 3(x – 4)2	Lsg: S(4	0)
y = -2x2 – 3	Lsg: S(0	-3)
y = 3x2	Lsg: S(0	0)

Anders rum: Gib die Gleichung der folgenden Funktionen an, bei denen a und der Scheitelpunkt bekannt sind:

a = 1,5  S(2	-1)	Lsg: y = 1,5·(x – 2)2 – 1
a = -4  S(1	3)	Lsg: y = -4·(x – 1)2 + 3

Normalparabel mit  S(4|-2)    Lsg: y = (x – 4)² – 2

Die Scheitelform benötigt man für den Scheitelpunkt, zum Weiterrechnen braucht man aber leider doch wieder die allgemeine Form.

Wie man umrechnet, liegt auf der Hand: Man löst die quadratische Klammer auf.

Die Funktion y = (x – 3)² + 1 soll umgewandelt werden:

y	= (x – 3)2 + 1
	= x2 – 6x + 9 + 1
	= x2 – 6x + 10      fertig!

Natürlich muss man darauf achten, dass (x – 3)² nicht einfach x² – 9 wird, sondern dass es sich um Klammer mal Klammer handelt: (x – 3)·(x – 3), so dass 4 Terme entstehen. Oder, geschickter: man wendet gleich die binomischen Formeln an!

Beispiele:

Bringe y = 2(x + 1)² – 2 in die allgemeine Form.

y	= 2(x + 1)2 – 2
	= 2·(x2 + 2x + 1) – 2
	= 2x2 + 4x + 2 – 2
	= 2x2 + 4x

Eine quadratische Funktion mit a = -1 besitzt den Scheitelpunkt S(-2|0). Gib ihre Gleichung in allgemeiner Form an.

y = -(x + 2)²
   = -(x² + 4x + 4)
   = -x² – 4x - 4

Hat man eine Funktion in allgemeiner Form, muss man diese zunächst in die Scheitelform umwandeln, um den Scheitelpunkt ablesen zu können.

Es gibt zwei Methoden. Zuerst die schwere: mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.

y = 2x² + 6x + 1 soll in Scheitelform gebracht werden, um S zu bestimmen.

y	= 2x2 + 6x + 1
	= 2·[x2 + 3x] + 1	(Ausklammern)
	= 2·[x2 + 3x + 1,52 – 1,52] + 1	(Quadrat. Ergänzung)
	= 2·[(x + 1,5)2 – 1,52] + 1	(Bi Fo rückwärts)
	= 2·(x + 1,5)2 – 2·2,25 + 1	(2 mal die Klammer)
	= 2·(x + 1,5)2 – 3,5
	→ Scheitelpunkt	S(-1,5|-3,5)  ;O{

Zweite Möglichkeit: Man verwendet eine Formel: ;O)

Scheitelpunkt S(xS|yS):  xS = –

b 2a

und  yS = c –

b2 4a

Beispiele:

y = 2x² + 5x + 3

xs = -

5 2·2

= -1,25

  

ys = 3 –

52 4·2

= -0,125

S(-1,25|-0,123)

y = -x² – 2x + 1

xs = -

-2 2·(-1)

= -1

  

ys = 1 –

(-2)2 4·(-1)

= 2

  S(-1|2)

Manchmal soll man die allgemeine Form einer Gleichung in die Scheitelform umrechnen.

Entweder du rechnest mit Hilfe der quadratischen Ergänzung, wie es oben gezeigt wurde. Ist aber nicht einfach!

Oder du berechnest zunächst den Scheitelpunkt mit den beiden Formeln und setzt dann die Koordinaten x_s und y_s in die Scheitelform ein.

Beispiel:

Gib die Funktion y = -3x² + x in der Scheitelform an.

xs = -

1 2·(-3)

= 0,17

  

ys = 0 –

12 4·(-3)

= 0,08

 
Ergebnis: y = -3·(x – 0,17)² + 0,08