Lektion
   Scheitelform und allgemeine Form   
Worum geht es?
Eine quadratische Funktion kann nicht nur in der allgemeinen Form angegeben werden, etwa
y = 3x2 – 12x + 8, sondern auch in der sogenannten Scheitelform, y = 3·(x – 2)2 – 4.

Die Scheitelform ist deshalb interessant, weil man an ihr direkt den Scheitelpunkt ablesen kann, hier zum Beispiel S(2|-4).
 

 
In dieser Lektion lernst du
1.Die Scheitelform zu verstehen.
2.Den Scheitelpunkt direkt abzulesen.
3.Von einer in die andere Form umzuwandeln.
4.Den Scheitelpunkt aus der allgemeinen Form zu berechnen.
 
Die Scheitelform
Die Scheitelform entsteht, wenn man die Parabel y = ax2  um einen Vektor 
v
 
=
(
xS
yS
)
verschiebt.

Zum Beispiel könnte man die Parabel y = 2x2 um den Vektor 
v
 
=
(
1
3
)
 verschieben (also um 1 nach rechts und 3 nach oben).

Die Funktionsgleichung wird dadurch von y = 2x2 zu:
y = 2·(x – 1)2 + 3
 
Während die y-Verschiebung einfach drauf addiert wird, muss die x-Verschiebung von x abgezogen werden. Warum? Keine Ahnung! :O)


Merke:
allgemeine Form:
y = ax2 + bx + c
Scheitelform: 
y = a·(x – xS)2 + yS



 Scheitelpunkt ablesen: 

xS: Wert in der Klammer mit
    umgekehrtem Vorzeichen.

yS: Wert außerhalb mit
    richtigem Vorzeichen.
Noch ein Beispiel:

Die Parabel y = x2 wird um 
v
 
=
(
3
-1
)
 verschoben.
Ergebnis: y = (x – 3)2 – 1
 
Vorteil der Scheitelform:

Der Scheitelpunkt kann direkt abgelesen werden.
Es sind die Koordinaten der Verschiebung.

y = 2·(x – 1)2 + 3        → S(1|3)
y = (x – 3)2 – 1          → S(3|-1)
 
Den Scheitelpunkt ablesen
Wenden wir unser neues Wissen also an:

Die Funktion y = 0,5x2 wird um 
v
 
=
(
2
-4
)
 verschoben. Bestimme Gleichung und Scheitelpunkt der neuen Funktion.

Lsg: y = 0,5·(x – 2)2 – 4    S(2|-4)

Die Funktion y = x2 wird um 
v
 
=
(
-3
0,5
)
 verschoben.

Lsg: y = (x + 3)2 + 0,5    S(-3|0,5)
 



Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.

y = -0,5(x + 1)2 – 3     Lsg: S(-1-3)
y = 3(x – 4)2            Lsg: S(40) 
y = -2x2 – 3            Lsg: S(0-3) 
y = 3x2                 Lsg: S(00)
 
Anders rum: Gib die Gleichung der folgenden Funktionen an, bei denen a und der Scheitelpunkt bekannt sind:

a = 1,5  S(2-1)        Lsg: y = 1,5·(x – 2)2 – 1 
a = -4  S(13)         Lsg: y = -4·(x – 1)2 + 3


Normalparabel mit  S(4|-2)    Lsg: y = (x – 4)2 – 2
 
Umrechnung: Scheitelform in allgemeine Form
Die Scheitelform benötigt man für den Scheitelpunkt, zum Weiterrechnen braucht man aber leider doch wieder die allgemeine Form.

Wie man umrechnet, liegt auf der Hand: Man löst die quadratische Klammer auf.
 


Die Binomischen Formeln:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2










Die Funktion y = (x – 3)2 + 1 soll umgewandelt werden:

= (x – 3)2 + 1 
  = x2 – 6x + 9 + 1
  = x2 – 6x + 10      fertig!
 
Natürlich muss man darauf achten, dass (x – 3)2 nicht einfach x2 – 9 wird, sondern dass es sich um Klammer mal Klammer handelt: (x – 3)·(x – 3), so dass 4 Terme entstehen. Oder, geschickter: man wendet gleich die binomischen Formeln an!
 
Beispiele:

Bringe y = 2(x + 1)2 – 2 in die allgemeine Form.

= 2(x + 1)2 – 2
  = 2·(x2 + 2x + 1) – 2
  = 2x2 + 4x + 2 – 2 
  = 2x2 + 4x


Eine quadratische Funktion mit a = -1 besitzt den Scheitelpunkt S(-2|0). Gib ihre Gleichung in allgemeiner Form an.

y = -(x + 2)2
   = -(x2 + 4x + 4)
   = -x2 – 4x - 4
 
Berechnung des Scheitelpunktes (1):
Hat man eine Funktion in allgemeiner Form, muss man diese zunächst in die Scheitelform umwandeln, um den Scheitelpunkt ablesen zu können.

Es gibt zwei Methoden. Zuerst die schwere: mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.
 
y = 2x2 + 6x + 1 soll in Scheitelform gebracht werden, um S zu bestimmen.

= 2x2 + 6x + 1   
= 2·[x2 + 3x] + 1 (Ausklammern)
 = 2·[x2 + 3x + 1,52 – 1,52] + 1 (Quadrat. Ergänzung)
 = 2·[(x + 1,5)2 – 1,52] + 1 (Bi Fo rückwärts)
 = 2·(x + 1,5)2 – 2·2,25 + 1 (2 mal die Klammer)
 = 2·(x + 1,5)2 – 3,5  
             → Scheitelpunkt S(-1,5|-3,5)  ;O{
 
Berechnung des Scheitelpunktes: (2)
Zweite Möglichkeit: Man verwendet eine Formel: ;O)

Scheitelpunkt S(xS|yS):  xS = –
b
2a
  und  yS = c –
b2
4a
 
Merke:
Scheitelpunkt:
xS = –
b
2a
 ;  yS = c –
b2
4a



Taschenrechner:

Um die Rechnung im Nenner musst du Klammern setzen: 
: (2·2) bzw. : (4·2)

Minuszahlen zum Quadrat ebenfalls in Klammern!! (-2)2
Beispiele:

y = 2x2 + 5x + 3
xs = -
5
2·2
 = -1,25
  
ys = 3 –
52
4·2
 = -0,125

S(-1,25|-0,123)

y = -x2 – 2x + 1
xs = -
-2
2·(-1)
 = -1
  
ys = 1 –
(-2)2
4·(-1)
 = 2
  S(-1|2)
 
Umrechnung: allgemeine Form in die Scheitelform
Manchmal soll man die allgemeine Form einer Gleichung in die Scheitelform umrechnen.

Entweder du rechnest mit Hilfe der quadratischen Ergänzung, wie es oben gezeigt wurde. Ist aber nicht einfach!

Oder du berechnest zunächst den Scheitelpunkt mit den beiden Formeln und setzt dann die Koordinaten xs und ys in die Scheitelform ein.
 







In der Regel rundet man auf 2 Stellen hinter dem Komma.
Beispiel:

Gib die Funktion y = -3x2 + x in der Scheitelform an.
xs = -
1
2·(-3)
 = 0,17
  
ys = 0 –
12
4·(-3)
 = 0,08
 
Ergebnis: y = -3·(x – 0,17)2 + 0,08
 

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