Lektion
   Ermitteln der Parabelgleichung   
Worum geht es?
Viele Parabel-Aufgaben – auch bei den Abschlussprüfungen – beginnen damit, dass man die Parabelgleichung aufstellen muss. Man bekommt die Gleichung also nicht fertig geliefert sondern muss sie sich erst einmal selbst basteln.

Für die so gewonnene Gleichung wird dann anschließend eine Wertetabelle erstellt und der Graph gezeichnet.

Das Ermitteln der Gleichung ist nicht besonders schwer. Es gibt 4 verschiedene Möglichkeiten, von denen zwei geschenkt sind. Bleiben also zwei Methoden, die man sich fest einprägen sollte.
 
In dieser Lektion lernst du die Parabelgleichung aufzustellen, wenn:
1.Der Scheitelpunkt und a gegeben sind.
2.Der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt gegeben sind.
3.a, b und c gegeben sind.
4.Zwei Punkte und a, b oder c gegeben sind.
 
Vorüberlegungen
Wir haben zwei Möglichkeiten, die Gleichung zu bestimmen: 
Entweder über die Scheitelform oder oder über die allgemeine Form:

y = a·(x – xS)2 + yS    oder    y = ax2 + bx + c

Je nachdem, welche Informationen man uns über die Parabel gibt, wählen wir diejenige Form, die es uns leichter macht. Die Entscheidung ist dabei einfach:

Bekommen wir den Scheitelpunkt geliefert, nehmen wir die Scheitelform, ansonsten die allgemeine!
 

Welche Form?

Scheitelpunkt → Scheitelform

sonst → allgemeine Form

Wie du gleich sehen wirst, gibt es gar nicht so viele mögliche Varianten, mit welchen Informationen man uns füttert. Beginnen wir mit gegebenem Scheitelpunkt.
 
1. Scheitelpunkt und a gegeben
Geschenkt!
Einfach nur in die Scheitelform einsetzen und fertig!

Beispiel:

Gegeben sei eine quadratische Funktion mit dem Scheitelpunkt S(2|4) und a = 1,5.

Lsg: y = a·(x – xS)2 + yS    also y = 1,5·(x – 2)2 + 4 

;O)
 
2. Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt gegeben
Gegeben seien S(-2|4) und P(1|22)

Nicht mehr geschenkt, jetzt wird's ernst!

Der Scheitelpunkt ist gegeben, also nehmen wir wieder die Scheitelform und setzen ihn für xS und yS ein. Für die fertige Gleichung fehlt uns dann nur noch a.

Um a heraus zu bekommen, setzen wir den anderen Punkt für x und y ein.
 


Einsetzen:

Scheitelpunkt: xS und yS
Anderer Punkt: x und y






Scheitelpunkt und anderer Punkt gegeben:
Scheitelpunkt für und xS und yS einsetzen.
Anderen Punkt für x und y einsetzen.
a ausrechnen.
Scheitelform füllen mit xS, yS und a.
= a·(x – xS)2 + yS  Scheitelpunkt einsetzen
= a·(x + 2)2 + 4   Punkt P einsetzen
22 = a·(1 + 2)2 + 4



Achte darauf, x und y bei dem normalen Punkt nicht zu verwechseln. y steht in der Gleichung vorne!
 
Die entstandene Gleichung wird nach a aufgelöst:

22 = a·(1 + 2)2 + 4
22 = a·9 + 4  | – 4
18 = 9a  | : 9
2   = a

Damit haben wir alles, was wir brauchen. a und der Scheitelpunkt wird in die Scheitelform eingesetzt:

y = 2·(x + 2)2 + 4    fertig!
 
Zweites Beispiel:

Gegeben sind A(1|0) und der Scheitelpunkt S(3|-2)

S für xS und yS einsetzen, A für x und y und das Ganze nach a auflösen:

y = a·(x – 3)2 – 2        S eingesetzt
0 = a·(1 – 3)2 – 2        A eingesetzt
0 = a·4 – 2  | + 2
2 = 4a  | : 4
0,5 = a

Lsg: y = 0,5·(x – 3)2 – 2
 
3. a, b und c gegeben
Ein Scherz, nicht wahr? Einfach in die allgemeine Form einsetzen und fertig!

Beispiel: a = 2 ; b = 3; c = -1  →  y = 2x2 + 3x – 1
 
4. Zwei Punkte und ein Parameter gegeben
Beispiel 1
Gegeben: P(2|3) ; Q(4|11) ; a = 1

Mit Abstand der schwierigste Fall!

Kein Scheitelpunkt gegeben, also nehmen wir die allgemeine Form. y = ax2 + bx + c

Normale Punkte sind gegeben, also setzen wir sie wieder für x und y ein. Für jeden Punkt eine Gleichung:

I.   3  = 1·22 + b·2 + c
II. 11 = 1·42 + b·4 + c      vereinfachen:

I.   3  = 4 + 2b + c
II. 11 = 16 + 4b + c
 








b und c müssen ausgerechnet werden. Da man aber mit einer Gleichung immer auch nur eine Variable ausrechnen kann, trifft es sich gut, dass wir hier zwei Gleichungen haben. Erinnerst du dich? Ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten! :O)

Wir kombinieren die Gleichungen zu einer einzigen, wobei eine Variable wegfallen muss. Beide enthalten c, deshalb subtrahieren wir die Gleichungen:

I – II: 3 – 11 = 4 – 16 + 2b – 4b      (c fällt raus)
       -8 = -12 – 2b  | + 12
        4 = -2b  | : (-2)
       -2 = b
 
b wäre erledigt! c bekommen wir, indem wir b in eine der oberen Gleichungen einsetzen, die c noch enthalten:

in I: 3 = 4 + 2·(-2) + c
     3 = 0 + c 
     3 = c              Uff!  Alles einsetzen:

y = x2 – 2x + 3
 
Beispiel 2
Gegeben: A(-1|-6) ; B(2|-3) ; b = 3 → y = ax2 + bx + c

I.   -6 = a·(-1)2 + 3·(-1) + c
II.  -3 = a·22 + 3·2 + c

I.   -6 = a – 3 + c
II.  -3 = 4a + 6 + c

I – II: -6 – (-3) = a – 4a – 3 – 6 
      -3 = -3a – 9  | + 9
       6 = -3a  | : (-3)
      -2 = a

in I:  -6 = -2 – 3 + c  | + 5
      -1 = c            Finito!    Alles einsetzen:

y = -2x2 + 3x – 1
 
Zwei Punkte gegeben:
Beide Punkte für x und y einsetzen.
Man erhält zwei Gleichungen.
Gleichungen vereinfachen.
Es bleiben zwei Variablen.
Gleichungen so kombinieren (z.B. I – II), dass eine Variable wegfällt.
Verbleibende Variable ausrechnen.
In frühere Gleichung einsetzen und zweite Variable ausrechnen.
Beispiel 3
Gegeben: A(3|1) ; B(-2|21) ; c = 1  →   y = ax2 + bx + c

I.    1 = a·32 + b·3 + 1            A eingesetzt
II. 21 = a·(-2)2 + b·(-2) + 1      B eingesetzt

I.    1 = 9a + 3b + 1  | · 2
II. 21 = 4a – 2b + 1  | · 3

Hier fällt keine Variable einfach durch Subtraktion weg. Unser Plan: Wenn wir die erste Gleichung mal 2 nehmen und die zweite mal 3, können wir anschließend beide Gleichungen addieren, damit b raus fällt.

I.    2 = 18a + 6b + 2
II. 63 = 12a – 6b + 3

I + II: 2 + 63 = 18a + 12a + 2 + 3    (b fällt raus)
       65 = 30a + 5  | – 5 
       60 = 30a  | : 30
        2 = a

in I: 1 = 9·2 + 3b + 1
     1 = 3b + 19  |  19
   -18 = 3b  | : 3
    -6 = b          Geschafft!  Alles einsetzen:

y = 2x2 – 6x + 1
 









       

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