Wir haben unsere Formeln für Streckenlängen, Punktkoordinaten und Flächeninhalte erstellt. Nun sollen die Formeln verwendet werden. Viele verschiedene Fragestellungen können wir damit beantworten:

Welchen Flächeninhalt haben die Vierecke bei x = 4? Für welches x ergibt sich eine Streckenlänge von 5 Längeneinheiten? Bei welchem x ergibt sich der maximal mögliche Flächeninhalt? Bei welchem x werden die Vierecke zu Rauten? Bei welchem x werden die Rauten zu Quadraten? Für welche x gibt es überhaupt Vierecke? usw. usw.

Eine Formel ist dazu da, etwas zu berechnen, egal ob es eine Formel für Streckenlängen, Punktkoordinaten oder Flächeninhalte ist. Die einfachste Fragestellung ergibt sich, wenn wir mit unseren Formeln einen x-Wert einsetzen und damit einen y-Wert ausrechnen sollen.

Nehmen wir das zweite Beispiel der vorherigen Lektion:

Gegeben ist die Parabel p: y = 0,5x² – x + 3 und die Gerade g: y = x – 2.  A_n ϵ p ; C_n ϵ g. A_n und C_n besitzen die gleiche Abszisse x und bilden zusammen mit Punkten B_n und D_n Rauten, deren Diagonale B_nD_n eine Länge von 4 besitzt

Wir hatten eine Formel für die Strecke   und eine Formel für den Flächeninhalt der Rauten erstellt:

(x) = 0,5x² – 2x + 5
A(x) = x² – 4x + 10

Nun die neuen Fragestellungen: 

Welche Streckenlänge   ergibt sich für x = 2?
Welcher Flächeninhalt ergibt sich für x = -3?

Nichts leichter als das! Einfach x einsetzen und die geforderte Größe ausrechnen:

x = 2	→  AnCn (2)	= 0,5·22 – 2·2 + 5	= 3 LE
x = -3	→  A(-3)	= (-3)2 – 4·(-3) + 10	= 31 FE

Nun wird es etwas aufwendiger! Wir sollen nicht y- sondern x-Werte berechnen. Die y-Werte gibt man uns vor. Das bedeutet, dass wir nicht einfach nur einsetzen und ausrechnen können, sondern die Formel (sozusagen rückwärts) nach x auflösen müssen.

Wir bleiben bei unsere Beispiel mit den beiden Formeln für die Streckenlänge und die Fläche:

(x) = 0,5x² – 2x + 5
A(x) = x² – 4x + 10

Die neuen Fragestellungen: 

Für welches x ergibt sich eine Streckenlänge 
von 8 LE?

Für welches x ergibt sich ein Flächeninhalt von 15 FE?

Vom Ansatz her nicht wirklich schwierig, nur etwas aufwendiger! Wir setzen die Vorgaben für y ein:

8 = 0,5x² – 2x + 5   

Es ergibt sich eine Gleichung, die nach x aufgelöst werden muss. Eine Technik, die du inzwischen im Schlaf beherrschst:

8 = 0,5x² – 2x + 5    | – 8
0 = 0,5x² – 2x – 3

D = b² – 4ac = (-2)² – 4·0,5·(-3) = 10

x1 =

-b + √D 2a

=

2 + √10 2·0,5

= 5,16

   

x2 =

2 – √10 2·0,5

= -1,16

Eine Streckenlänge   von 8 ergibt sich also für die beiden x-Werte 5,16 und -1,16. Ein Blick auf den Graphen bestätigt zumindest den einen Wert.

Auf die gleiche Weise ermittelt man die x-Werte für die zweite Frage, bei der die Fläche 15 FE werden soll.

15 = x² – 4x + 10 | – 15
 0 = x² – 4x – 5

D = b² – 4ac = (-4)² – 4·1·(-5) = 36

x1 =

-b + √D 2a

=

4 + √36 2·1

= 5

   

x2 =

4 – √36 2·1

= -1

Für die x-Werte 5 und -1 ergibt sich also ein Flächeninhalt von 15. Setzt man die beiden x-Werte zur Probe in die Flächenformel ein, sieht man, dass das auch wirklich stimmt.

Eine weitere mögliche Fragestellung: Bei welchem x wird die Streckenlänge oder der Flächeninhalt maximal bzw. minimal?

Für jede Position von A_n, also für jedes x ergibt sich ja eine andere Streckenlänge und ein anderer Flächeninhalt. In unserem Beispiel sind beide sehr groß für kleine x (links) und für große x (rechts). Irgendwo um x = 1 herum ergibt sich die kürzeste Strecke und damit auch der kleinste Flächeninhalt.

Und wie findet man nun das x, für das sich ein kleinster oder ein größter Wert ergibt? Man bestimmt den Scheitelpunkt S(x_S|y_S) der entsprechenden Funktion!

Die Frage nach dem Minimum
Für welches x ergibt sich die Raute mit dem kleinsten Flächeninhalt?

A(x) = x² – 4x + 10

xS =

-b 2a

=

-(-4) 2·1

= 2

yS = c –

b2 4a

= 10 –

(-4)2 4·1

= 6

Antwort: Für x = 2 ergibt sich die Raute mit dem kleinsten Flächeninhalt. Er beträgt dort 6 FE.

Ein zweites Beispiel: Maximum

Ebenfalls aus der vorherigen Lektion. Hier ergab sich folgende Formel für die Streckenlänge  :

 = -2x² + 3x + 2,75

Wie man am Graphen sieht, gibt es hier für ein bestimmtes x eine größte Streckenlänge, ungefähr bei x = 0,5.

Berechnen wir also auch dieses x genau: Die Technik ist wieder die gleiche. Ob größten Wert (Maximum) oder kleinsten (Minimum), immer muss man den Scheitelpunkt der betroffenen Formel berechnen.

 = -2x² + 3x + 2,75

xS =

-b 2a

=

-3 2·(-2)

= 0,75

yS = c –

b2 4a

= 2,75 –

32 4·(-2)

= 3,875

Ergebnis: Für x = 0,75 ist die Streckenlänge maximal. Sie beträgt dort 3,875 LE.

Drittes Beispiel: Min/Max bei Wurzelfunktion

Wie geht man eigentlich vor, wenn die Formel eine Wurzelfunktion ist?

In dem Beispiel rechts ergab sich in der vorherigen Lektion eine Rautendiagonale von

 = √2,25x² + 15,75x + 36,56

Frage: Für welches x wird die Diagonale minimal?

Lösung: Die Wurzelfunktion ändert zwar die Werte an sich, aber nicht ihre Größenverhältnisse zueinander. Wenn 9 < 16 ist, dann ist auch √9 < √16 !!!

Deshalb bestimmen wir den kleinsten x-Wert einfach ohne Berücksichtigung der Wurzel!

xS =

-b 2a

=

-15,75 2·2,25

= -3,5

Auch y_S können wir zunächst ohne die Wurzel bestimmen, aber Achtung: Die Formel für die Streckenlänge hat nun mal die Wurzel drüber stehen, also müssen wir sie zum Schluss sehr wohl ziehen:

yS = c –

b2 4a

= 36,56 –

15,752 4·2,25

= 8,99

Minimum: √8,99 = 3

Ergebnis: Es ergibt sich für x = -3,5 die kleinste Diagonale mit einem Wert von 3 LE.

Häufig wird gefragt, wann, also für welches x, ein allgemeiner Fall in einen Spezialfall übergeht.

Für welches x ergibt sich ein gleichschenkliges Dreieck? Wann wird der Drachen zur Raute? Wann die Raute zum Quadrat? Wann das Parallelogramm zum Rechteck?

Erstes Beispiel:

Wieder unser Beispiel von oben. Wir hatten folgende Formel erhalten:

(x) = -2x² + 3x + 2,75

Frage: Für welchen x-Wert x₀ ergibt sich ein gleichschenkliges Dreieck A₀B₀C₀ mit der Basis  ?

Idee: Schau dir den Graphen an. Wenn   die Basis ist und das Dreieck gleichschenklig, dann müssen die anderen beiden Seiten gleich lang sein:

 = 

Damit hast du den Ausgangspunkt für deine Rechnung!

Da   einfach nur der Vektor 

(

2 1

)

 ist, lässt sich seine Länge leicht ausrechnen. Und genauso lang muss dann auch die andere, variable Strecke sein.

 = √2² + 1² = 2,24

Also: 2,24 =   
        2,24 = -2x² + 3x + 2,75

Und schon landen wir wieder an einer Stelle, die wir beherrschen! Gleich Null setzen, Determinante und x_1/2 berechnen.

0 = -2x² + 3x + 0,51

D = 3² – 4·(-2)·0,51 = 13,08

x1 =

-3 +  √ {13,08} 2·(-2)

= -0,15  x2 = 1,65

 

Ergebnis: Für die beiden x-Werte -0,15 und 1,65 ergeben sich gleichschenklige Dreiecke mir der Basis  .

Zweites Beispiel:

Unser Beispiel von ganz oben mit
(x) = 0,5x² – 2x + 5.

Frage: Für welches x ergeben sich Quadrate A_nB_nC_nD_n?

Idee: Bei Quadraten sind beide Diagonalen gleich!

Auch hier ist eine der Diagonalen als Zahl gegeben:
 = 4 LE.

Ebenso lang muss die andere Diagonale sein:

4 =  (x) 
4 = 0,5x² – 2x + 5   | – 4
0 = 0,5x² – 2x + 1

D = (-2)² – 4·0,5·1 = 2

x₁ = 3,41   x₂ = 0,59

Drittes Beispiel:

Dies ist ein Beispiel aus den Aufgaben der vorherigen Lektion.

Frage: Bei welchem x liegt die Strecke   parallel zur x-Achse?

Idee: A_n und C_n liegen waagerecht nebeneinander, wenn sie die gleiche y-Koordinate haben.

In der Aufgabe wurden die y-Koordinaten bereits berechnet: 

y_A = x² + 3x – 2        y_C = x² + 11x + 26

Gleichsetzen:

x² + 3x – 2 = x² + 11x + 26  | – x² – 11x + 2
-8x = 28  | : (-8)
x = -3,5