Scheitelpunkt → Scheitelform

y = a·(x – x_s)² + y_s
y = a·(x – 1)² + 2        S eingesetzt
18 = a·(-3 – 1)² + 2    P eingesetzt
18 =16a + 2  | – 2
16 = 16a  | : 16
1 = a            → y = (x – 1)² + 2

keine Scheitelpunkt → allgemeine Form

y = ax² + bx + c

I. 1,5 = 0,5·(-1)² + b·(-1) + c    A eingesetzt
II. 15 = 0,5·2² + b·2 + c            B eingesetzt

vereinfachen
I. 1,5 = 0,5 – b + c
II. 15 = 2 + 2b + c 

kombinieren
I – II: 1,5 – 15 = 0,5 – 2 – b – 2b  (c fällt raus)
      -13,5 = - 1,5 – 3b | + 1,5
      -12 = -3b  | : (-3)
        4 = b

in I:  1,5 = 0,5 – 4 + c  | + 3,5
       5 = c
                    → y = 0,5x² + 4x + 5

Scheitelpunkt → Scheitelform

y = a·(x – x_s)² + y_s   einfach nur einsetzen:

y = 1,7·(x + 0,2)² + 3,6

Scheitelpunkt → Scheitelform

y = a·(x – x_s)² + y_s  
y = a·(x + 6)² + 0      S eingesetzt
8 = a·(-4 + 6)²          A eingesetzt
8 = 4a  | : 4
2 = a            → y = 2(x + 6)²

keine Scheitelpunkt → allgemeine Form

y = ax² + bx + c

I.  -6,5 = a·(-3)² – 6·(-3) + c    einsetzen
II. -18,5 = a·1² – 6·1 + c

I.   -6,5 = 9a + 18 + c              vereinfachen
II. -18,5 = a – 6 + c 

I – II: -6,5 – (-18,5) = 9a – a + 18 – (-6) 
      12 = 8a + 24  | – 24 
      -12 = 8a  | : 8
      -1,5 = a

in II: -18,5 = -1,5 – 6 + c  | + 7,5
        -11 = c
                    → y = -1,5x² – 6x – 11

keine Scheitelpunkt → allgemeine Form

y = ax² + bx + c  einfach einsetzen:

y = -4x² + 7

höchster Punkt = Scheitelpunkt
Wo? y-Achse und y = 0,5 → S(0|0,5) 

y = a·(x – x_s)² + y_s  
y = a·(x – 0)² + 0,5            S eingesetzt
-6,26 = a·(-1,5 – 0)² + 0,5  E eingesetzt
-6,25 = 2,25a + 0,5  | - 0,5
-6,75 = 2,25a  | : 2,25
  -3 = a          →  y = -3x² + 0,5

y = ax² + bx + c    Beide Punkte einsetzen:

I. 20,6 = a·(-2)² + b·(-2) + 11      P
II.  1,4 = a·4² + b·4 + 11            Q

I. 20,6 = 4a – 2b + 11  | · 2
II.  1,4 = 16a + 4b + 11

Plan: die erste Gleichung mal 2, dann mit II addieren, damit b wegfällt.

I. 41,2 = 8a – 4b + 22
II.  1,4 = 16a + 4b + 11

I + II: 42,6 = 24a + 33  | – 33
        9,6 = 24a  | : 24
        0,4 = a

in I: 20,6 = 4·0,4 – 2b + 11
     20,6 = 12,6 – 2b  | – 12,6
     8 = -2b  | : (-2)
      -4 = b          →  y = 0,4x² – 4x + 11

a = -1
höchster Punkt = Scheitelpunkt → Scheitelform

y = a·(x – x_s)² + y_s   einsetzen
y = -(x + 2)² - 1

y = ax² + bx + c

I.  6 = -1·1² + b·1 + c          E
II. 7 = -1·2² + b·2 + c          F

I.  6 = -1 + b + c
II. 7 = -4 + 2b + c

I – II: 6 – 7 = -1 – (-4) + b – 2b  (c fällt weg)
      -1 = 3 – b   | – 3
      -4 = -b  | : (-1)
         4 = b

in I: 6 = -1 + 4 + c  | – 3
      3 = c          →  y = -x² + 4x + 3

waagerechte Tangente
→ Scheitelpunkt P(5|-2).

y = a·(x – x_s)² + y_s  
y = a·(x – 5)² – 2          S bzw. P eingesetzt
-3,5 = a·(4 – 5)² – 2        E eingesetzt
-3,5 = a – 2  | + 2
-1,5 = a          →  y = -1,5(x – 5)² – 2

y = ax² + bx + c

I.  1 = 4·0 + b·0 + c      A eingesetzt
II. 3 = 4·1 + b·1 + c      B eingesetzt

I.  1 = c
II. 3 = 4 + b + c

Da man c schon raus hat, kann man es direkt in II einsetzen.

3 = 4 + b + 1  | – 5
-2 = b            →  y = 4x² – 2x + 1

Das ging überraschend schnell, weil bei dem Punkt A: x = 0 war und daher vieles weggefallen ist.

symmetrisch zu x = 2  →
Scheitelpunkt liegt bei x_S = 2. → S(2|?)

Normalparabel: a = 1

y = a·(x – x_s)² + y_s  
y = 1·(x – 2)² + y_S      S und a eingesetzt
6 = 1·(-1 – 2)² + y_S    P eingesetzt

Hieraus kann man y_S ausrechnen:

6 = 9 + y_S  | - 9
-3 = y_S        →  y = (x – 2)² – 3

waagerechte Tangente bei y = -3  → Scheitelpunkt bei y_S= -3.  → S(?|-3)

nach unten geöffn. Normalp.  → a = -1

schneidet die y-Achse bei -19  → P(0|-19)

y = a·(x – x_s)² + y_s  
y = -(x – x_S)² – 3      S und a eingesetzt
-19 = -(0 – x_S)² – 3    P eingesetzt
-19 = -x_S² – 3  | + 3
-16 = -x_S²   | :(-1)
16 = x_S²    |  √ 
4 = x_S          →  y = -(x – 4)² – 3

y = ax² + bx + c

I.  1 = a·(-1)² + b(-1) + 4
II. 3 = a·1² + b·1 + 4

I.  1 = a – b + 4
II. 3 = a + b + 4

I + II: 4 = 2a + 8  | – 8 : 2
      -2 = a

in II: 3 = -2 + b + 4  | – 2
      1 = b        →   y = -2x² + x + 4