Lektion
   Das Gleichsetzungsverfahren   
Worum geht es?
Kein Mensch löst Gleichungssysteme grafisch! Erstens ist das Zeichnen zu aufwendig, zweitens kann man den exakten Wert des Schnittpunktes oft nicht ablesen. Der einzige Vorteil am grafischen Verfahren ist, dass man sehr schön sieht, dass es eine, keine oder unendlich viele Lösungen geben kann.

Gleichungssysteme werden natürlich rechnerisch gelöst. Nur rechnerisch erhält man exakte Ergebnisse.
 
Es gibt mehrere Verfahren, ein Gleichungssystem rechnerisch zu lösen. Alle liefern das gleiche Ergebnis, je nach Aufgabenstellung ist aber mal das eine, mal das andere etwas einfacher. Wir starten mit dem Gleichsetzungsverfahren.
 
In dieser Lektion lernst du:
1.Wie das Gleichsetzungsverfahren funktioniert.
2.Woran man die Sonderfälle erkennt.
 
So funktioniert es:
Das Gleichsetzungsverfahren ist nichts anderes, als den Schnittpunkt zweier Geraden rechnerisch zu bestimmen. Du hast diese Technik bereits im Kapitel über Geraden gelernt:

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen, setzt man die beiden Geradengleichungen gleich!

Vorteil: Die Rechnung ist relativ einfach.

Nachteil: Dauert oft länger, da man die Gleichungen
        zunächst in die Form y = ... bringen muss.
 

Gleichsetzungsverfahren

Die beiden Gleichungen gleichsetzen.








Merke:
Zuerst nach y = ... auflösen
Dann gleichsetzen.












     
Beispiel 1:

Löse das Gleichungssystem:

 y = 3x – 7 
˄ y = -2x + 1

Gleichsetzen:

3x – 7 = -2x + 1  | + 2x
5x – 7 = 1  | + 7
5x = 8  | : 5
x = 1,6

Um den y-Wert zu erhalten, setzen wir den x-Wert in eine der beiden Gleichungen ein:

y = -2·1,6 + 1 = -2,2    →  L = {(1,6|-2,2)}
 
Beispiel 2:

Löse das Gleichungssystem:

 2x – y = 5
˄ x + 2y = -1

Hier müssen wir die beiden Gleichungen zunächst in die Geraden-Form bringen:

 2x – y = 5  | – 2x
˄ x + 2y = -1  | – x

 -y = -2x + 5  | : (-1)
˄ 2y = -x – 1  | : 2

 y = 2x – 5    **
˄ y = -0,5x – 0,5

Gleichsetzen:

2x – 5 = -0,5x – 0,5  | + 0,5x
2,5x – 5 = -0,5  | + 5
2,5x = 4,5  | : 2,5
x = 1,8

x einsetzen, um y zu erhalten: am Besten, man nimmt eine Gleichung, die bereits nach y aufgelöst ist (**):

y = 2·1,8 – 5 = -1,4    →    L = {(1,8|-1,4)}
 
Hintergrund
Das eigentlich Wichtige, was beim Gleichsetzen passiert, ist, dass eine Variable weg fällt!

Aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen macht man auf diese Weise eine Gleichung mit einer Variablen.

Und diese eine Variable kann man ja aus der einen Gleichung ausrechnen. Durch das spätere Einsetzen hat man dann erneut nur eine Gleichung mit einer Variablen.
 
Durch das Gleichsetzen wirft man eine Variable raus. Es bleibt eine Gleichung mit einer Variablen.







        y = ...     
  ˄ y = ....
 


 

   
   2x + 1 = ...     
˄ 2x + 1 = ...      
Warum muss man die Gleichungen eigentlich nach y = ... auflösen?

Muss man nicht! Aber wenn man etwas gleichsetzen möchte, muss auch sicher sein, dass das, was man da gleich setzt, auch gleich ist.

Hat man beide nach y = ... aufgelöst, dann darf man die beiden y gleichsetzen.

Das ginge allerdings auch, wenn man beide nach x = ... auflösen würde.

Oder nach 2y = ...  usw.

Hauptsache eben, man löst beide Gleichungen so auf, dass das Gleiche entsteht.
 
Sonderfälle
Beispiel 3:

 y – 6 = 2x
˄ 1 = 2x + 4 – y

Umformen:

 y – 6 = 2x  | + 6 
˄ 1 = 2x + 4 – y  | + y – 1

 y = 2x + 6
˄ y = 2x + 3

Gleichsetzen:

2x + 6 = 2x + 3  | – 2x
6 = 3

Huups! x ist verschwunden. Übrig bleibt eine Behauptung, die einfach nicht stimmt: 6 ist nicht gleich 3! Egal für welche x, das hier ist falsch!

Es gibt kein x, für das die Gleichung erfüllbar ist.
Also: keine Lösung!

6 = 3  f.A. (falsche Aussage)  →  L = {}
 
Merke:
x verschwindet und falsche Aussage:
keine Lösung
L = {}





    
Hier laufen beide Geraden ohne Schnittpunkt parallel zueinander.









Merke:
x verschwindet und wahre Aussage:
unendlich viele Lösungen
L = Q





    
Hier laufen beide Geraden mit unendlich vielen Schnittpunkten aufeinander.
Beispiel 4:

 3x = 2 – y 
˄ 2y + 6x = 4

Umformen:

 3x = 2 – y  | + y 
˄ 2y + 6x = 4  | – 6x

 y + 3x = 2  | – 3x
˄ 2y = -6x + 4  | : 2

 y = -3x + 2
˄ y = -3x + 2     

Gleichsetzen:

-3x + 2 = -3x + 2    | + 3x
2 = 2

Oho! Wieder fällt x weg. Dieses Mal ergibt sich aber eine richtige Behauptung: 2 ist gleich 2, und zwar immer, für alle x! Deshalb erfüllen auch alle x dieser Welt das Gleichungssystem!

2 = 2  w.A. (wahre Aussage)  →  L = Q
 

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