Verfahren Nummer 3: Das Additionsverfahren. Dieses Verfahren werden wir in der 10. Klasse verwenden, wenn es darum geht, Parabelgleichungen zu ermitteln.

Man addiert oder subtrahiert die beiden Gleichungen, so dass aus ihnen eine einzige Gleichung entsteht. Und auch hier ist wieder das eigentlich Entscheidende, dass bei der Addition eine Variable wegfällt.

Das Additionsverfahren ist relativ kompakt und führt in der Regel schneller zum Ziel als die anderen Methoden.

Eventuell müssen die beiden Gleichungen ein wenig vorbereitet werden. Dann aber addiert man die beiden Gleichungen, oder man subtrahiert sie voneinander. Dabei verschwindet eine Variable. Der Rest läuft dann wie immer.

Beispiel 1:

Löse das Gleichungssystem:

I:   2y + x = 12
II: ˄ 0,5y – x = 5,5

Wir addieren die beiden Gleichungen. Linke Seite plus linke Seite, rechte Seite plus rechte Seite.

I + II: 2y + x + 0,5y – x = 12 + 5,5
      2,5y = 17,5

Wie du siehst, hat sich das x verabschiedet. Das hängt daran, dass es einmal als +x und einmal als –x vorgekommen ist. Genau in solchen Situationen lohnt sich diese Methode.

Wäre x in beiden Gleichungen als +x vorgekommen, hätten wir nicht addiert sondern subtrahiert. Auch dann wäre es verschwunden.

2,5y = 17,5  | : 2,5
y = 7

in I: 2y + x = 12
    2·7 + x = 12  | – 14
    x = -2        →      L = {(-2|7)}

Beispiel 2:

Löse das Gleichungssystem:

I:   3y + 6 = x – 1 
II: ˄ -7 + 3y = 4 – 5x

Hier fällt y weg, wenn man die beiden Gleichungen subtrahiert.

I – II: 3y + 6 – (-7) – 3y = x – 1 – 4 – (-5x)
      13 = 6x – 5 | + 5
      18 = 6x  | : 6
      3 = x

in I: 3y + 6 = 3 – 1  | – 6
     3y = -4  | : 3
      y = - 

4 3

    →    L = {(3| 

-

4 3

)}

Beispiel 3:

Löse das Gleichungssystem:

I:   3x – 4y = -11 
II: ˄ 2x + 1,5y = 1 

Hier passt zunächst nichts zusammen. Möchte man in solchen Fällen das Additionsverfahren verwenden, müssen eine oder auch beide Gleichungen vorbereitet werden. Hier würde x wegfallen, wenn man I. mit 2 multipliziert und II. mit 3. Dann ergeben sich in beiden Gleichungen 6x.

I:   3x – 4y = -11  | · 2
II: ˄ 2x + 1,5y = 1  | · 3

I:   6x – 8y = -22 
II: ˄ 6x + 4,5y = 3

Nun kann subtrahiert werden:

I – II: -8y – 4,5y = -22 – 3
      -12,5y = -25  | : (-12,5)
      y = 2

in I: 3x – 4·2 = -11  | + 8
     3x = -3  | : 3
     x = -1      →      L = {(-1|2)}

Prinzipiell kann man jedes Gleichungssystem mit jedem Verfahren lösen. Aber mit unterschiedlichem Aufwand!

Um die Rechnung möglichst kurz zu halten, sucht man z.B. nach einer Methode, bei der man die Gleichungen nicht zuerst vorbereiten muss.

Das Additionsverfahren bietet sich deshalb immer an, wenn x oder y mit dem selben Faktor in den beiden Gleichungen vorkommen. Wie du gerade gesehen hast, kommt man dann sehr schnell zum Ziel.

6x + .....
6x + .....

Das Einsetzungsverfahren bietet sich nur an, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist. Ansonsten braucht es zu lange.

y = .....

Das Gleichsetzungsverfahren ist dann ideal, wenn beide Gleichungen von vornerein gleiche Seiten aufweisen.

3x = .....
..... = 3x