Lektion
   Trapeze   
Worum geht es?
Trapeze sind die schwierigsten unter den symmetrischen Vierecken. Außer dass zwei Seiten zueinander parallel sind, zeichnet sie nichts aus. Das hat zur Folge, dass die Formel zur Flächenberechnung komplizierter ist, als diejenigen, die wir bisher betrachtet haben.
 
Viele Schüler denken immer gleich an gleichschenklige Trapeze, wenn sie das Wort "Trapez" hören. Ist aber falsch, muss nämlich nicht sein!
 
In dieser Lektion lernst du:
1.Wie man den Flächeninhalt von Trapezen berechnet.
2.Dass das Jonglieren mit dieser Formel etwas schwieriger ist.
3.Wo man Trapezen in der realen Welt begegnet.
 
Trapeze
Bei Trapezen sind zwei der vier Seiten parallel zueinander. Diese nennt man Grundlinien. Die andern beiden heißen Schenkel.

Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die beiden Schenkel gleich lang, was dazu führt, dass die kurze Grundlinie mittig zur langen Grundlinie liegt.
 
Der Flächeninhalt
Fügt man im Trapez eine Mittellinie bei der halben Höhe ein (gestrichelt) und klappt die unten überstehenden Dreiecke links und rechts nach oben, so erhält man wieder ein Rechteck gleicher Fläche.

Die Höhe dieses Rechtecks ist die alte Trapezhöhe. Die Länge des Rechtecks ist die Länge der Mittellinie.

A = m · h

Die Länge der Mittellinie liegt genau zwischen den Längen der beiden Grundlinien. Einen solchen Mittelwert bestimmt man genauso wie den Mittelwert zweier Noten: Man zählt zusammen und teilt durch zwei:

m = 
1
2
 · (a + c)


Und damit ergibt sich für den Flächenimhalt:

ATrapez = 
1
2
 · (a + c) · h
 



Merke:
Trapez:
ATrapez = 
1
2
 · (a + c) · h


Das Trapez hat also mit Abstand die schwierigste Formel bekommen. Um den Flächeninhalt eines Trapezes berechnen zu können, brauchst du nicht zwei, sondern drei Größen: Die beiden Grundlinien und die Höhe!
 
Beispiele
Beispiel 1: 

Ein Trapez besitze die Grundlinien a = 16 cm und c = 10 cm sowie die Höhe h = 4 cm. Berechne seinen Flächeninhalt.

A = 
1
2
 · (a + c) · h = 
1
2
 · (16 + 10) · 4 = 52 cm2


Muss die Formel rückwärts angewandt, also nach einer Variablen aufgelöst werden, ergeben sich zwei unterschiedliche Techniken, je nachdem ob man die Höhe oder eine der Grundlinien sucht:
 






      
Für den Flächeninhalt spielt es keine Rolle, ob das Trapez gleichschenklig ist der nicht.
Beispiel 2: 

Ein Trapez mit einem Flächeninhalt von 100 cm2 besitze Grundlinien von 15 und 7 cm. Wie hoch ist das Trapez?

100 = 
1
2
 · (15 + 7) · h 
 
100 = 11 · h  | : 11
h = 9,09 cm
 
Beispiel 3: 

Ein Trapez besitze eine Grundlinie a von 20 cm und eine Höhe von 12 cm. Der Flächeninhalt beträgt 210 cm2. Wie lang ist die zweite Grundlinie?

210 = 
1
2
 · (20 + c) · 12 
 
210 = 6 · (20 + c)  | : 6
35 = 20 + c  | – 20
c = 15 cm
 
Flächeninhalte in der Praxis
Beispiel 4: 

Berechne die gesamte Dachfläche eines Walmdaches mit den abgebildeten Maßen.

Vordere Dachfläche (Trapez):
A1 = 
1
2
 · (18 + 8) · 5 
 = 65 m2

Seitliche Dachfläche (Dreieck):
A2 = 
1
2
 · 11 · 5 
 = 27,5 m2
 
Gesamte Fläche: 

ADach = 2 · 65 + 2 · 27,5 = 185 m2
 












Beispiel 5: 

Ein Schifffahrtskanal habe am oberen Rand eine Breite von 38 m und eine Querschnittfläche von 189 m2. Wie breit ist der Kanal an seinem Boden, wenn das Wasser eine maximale Höhe von 6 m erreichen kann?

189 = 
1
2
 · (38 + c) · 6 

189 = 3 · (38 + c)  | : 3
63 = 38 + c  | – 38
c = 25 m
 

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