Lektion
   n-Ecke im Koordinatensystem   
Worum geht es?
Den Flächeninhalt von Dreiecken und symmetrischen Vierecken können wir inzwischen berechnen. Aber wie steht es mit unsymmetrischen, beliebigen Vierecken? Mit Fünf- oder Sechsecken usw.?

Gar nicht so einfach, wie du gleich sehen wirst. Oft sogar fast unmöglich. Außer: Man kann die Figur ins Koordinatensystem zeichnen. Dann gibt es eine Technik, mit der man beliebige n-Ecke erschlagen kann. Und genau um diese geht es hier.
 

In dieser Lektion lernst du:
1.Wie man die Fläche von n-Ecken ohne ein Koordinatensystem ....
2..... und wie man sie mit einem Koordinatensystem berechnen kann (Determinante).
 
Der Flächeninhalt von n-Ecken
Wie berechnet man den Flächeninhalt eines unregelmäßigen 4-, 5- oder 6-Ecks?

Die Strategie ist einfach: Man unterteilt sie in Dreiecke!

Das Viereck wird per Diagonale in zwei Dreiecke geteilt, das Fünfeck in drei, das Sechseck in vier usw.
 
n-Ecke werden über Diagonalen in Dreiecke unterteilt!



Dann wird der Flächeninhalt für jedes der Dreiecke berechnet und zum Schluss alles zusammengezählt.

Soweit die Theorie.

Das Problem an der Sache ist aber: Du brauchst zur Berechnung für jedes dieser Teil-Dreiecke eine Grundseite und eine Höhe. Die Grundseiten gehen ja noch, aber Höhen von Teil-Dreiecken mitten in einer Figur, die hat man praktisch nie!
 
Wie man diese Figuren trotzdem in den Griff bekommt, lernen wir in der zehnten Klasse. Gut berechnen lassen sich hingegen Dreiecke, Vierecke etc., die im Koordinatensystem liegen. Dies ist der Fall bei Architekten, Ingenieuren oder Grafik-Designern.
 
n-Ecke im Koordinatensystem
Die grundlegende Strategie bleibt die gleiche wie im Fall ohne Koordinatensystem: Unterteile dein n-Eck in Dreiecke, berechne den Flächeninhalt jedes Dreiecks und zähle zum Schluss alles zusammen.

Was wir also brauchen ist eine Formel für den Flächeninhalt eines Dreieckes m Koordinatensystem.

Wir leiten die Formel hier nicht her, sondern präsentieren sie einfach. Die Herleitung ist widerlich, davon bekommst du nur Albträume! :O)

ADreieck = 
1
2
 · 
|
ax  bx
ay  by
|
 
       = 
1
2
 · (ax·by – bx·ay)

Der Term in senkrechten Strichen heißt "Determinante". Wie man damit rechnet, wirst du gleich sehen.
 
So wird's gemacht
Wie du an der Zeichnung rechts siehst, wird ein Dreieck im Koordinatensystem aus zwei Vektoren aufgespannt. Sie laufen von einem gemeinsamen Eckpunkt zu den beiden anderen Eckpunkten, z.B. von A zu B und C. Die Koordinaten der Punkte sind uns bekannt!

Diese beiden Vektoren musst du zunächst ausrechnen, indem du "Spitze minus Fuß" rechnest, also Endpunkt minus Startpunkt.

Dann erhältst du die beiden Vektoren
a
 
 =  (
ax
ay
)
 und 
b
 
 =  (
bx
by
)


Nun setzt du die Vektoren nebeneinander in senkrechte Striche, die "Determinante".

Die Determinante ist einfach nur eine Schreibweise, die einem hilft, sich die folgende Formel leichter zu merken:

ADreieck = 
1
2
 · 
|
ax  bx
ay  by
|
 
       = 
1
2
 · (ax·by – bx·ay)
 





Der Term in der Klammer entsteht, indem man die zwei Zahlen der Hauptdiagonalen multipliziert (ax·by), dann die zwei Zahlen der Nebendiagonalen (bx·ay) und sie dann voneinander abzieht.

Viele Schüler merken sich die Reihenfolge als "Fischformel". Zeichne mit Bleistift – von oben links beginnend – einen schematischen Fisch über alle vier Zahlen, das hilft dabei, in der richtigen Reihenfolge zu multiplizieren.
 
Beispiele
Beispiel 1: 

Die Sache ist zwar nicht geschenkt, aber auch nicht wahnsinnig schwierig. Du brauchst einfach ein wenig Übung!

Die drei Punkte A(2|1), B(6|3) und C(3|5) bilden ein Dreieck. Berechne seinen Flächeninhalt.

Zunächst ermitteln wir die beiden Vektoren:

a
 
 = 
AB
 
 =  (
6 – 2
3 – 1
) =  (
4
2
)

b
 
 = 
AC
 
 =  (
3 – 2
5 – 1
) =  (
1
4
)


Kleine Kontrolle in der Zeichnung rechts: 
a
 
geht 4 nach rechts, 2 nach oben. Stimmt!
b
 
geht 1 nach rechts, 4 nach oben. Stimmt auch!

Diese beiden Vektoren setzen wir nun nebeneinander in die Determinante der Flächenformel ein:

A = 
1
2
 · 
|
4  1
2  4
|
 

Und berechnen den Flächeninhalt:

A = 
1
2
 · (4·4 – 1 · 2) = 
1
2
 · 14 = 7 FE



     
FE: Flächeneinheiten
LE: Längeneinheiten
 




Merke:
Vektoren berechnen:
Spitze minus Fuß
Endpunkt minus Startpunkt










Reihenfolge der Vektoren:

Gegen den Uhrzeigersinn:
Zuerst 
AB
 
, dann 
AC
 
.






Beispiel 2: 

Berechne den Flächeninhalt des durch A(3|1), B(6|-1) und C(1|5) gegebenen Dreiecks.

Vektoren berechnen:

a
 
 = 
AB
 
 =  (
6 – 3
-1 – 1
) =  (
3
-2
)

b
 
 = 
AC
 
 =  (
1 – 3
5 – 1
) =  (
-2
4
)


Flächeninhalt:

A = 
1
2
 · 
|
 3  -2
-2   4
|
1
2
 · (3·4 – (-2)·(-2)) = 
1
2
 · 8 = 4 FE
 
Welcher der Vektoren gehört eigentlich nach links in die Determinante, welcher nach rechts?

Ist das Dreieck richtig, also gegen den Uhrzeigersinn mit A, B und C benannt, kommt zuerst 
AB
 
 und dann 
AC
 
.

Solltest du die beiden einmal vertauschen, erhältst du einen negativen Flächeninhalt. Einfach durchstreichen und mit umgekehrter Reihenfolge neu rechnen!
 
Beispiel 3: 

Nun zu einem n-Eck mit mehr als 3 Ecken.

Gegeben sei ein Fünfeck, wie es rechts zu sehen ist.
Berechne seinen Flächeninhalt.

Strategie: In Dreiecke unterteilen, die Flächen der Dreiecke berechnen und dann addieren.

Zunächst wieder die Vektoren. Wir nehmen A als Startpunkt.

a
 
 = 
AB
 
 =  (
3 – (-2)
-2 – (-3)
) =  (
5
1
)

b
 
 = 
AC
 
 =  (
5 – (-2)
1 – (-3)
) =  (
7
4
)

c
 
 = 
AD
 
 =  (
4 – (-2)
4 – (-3)
) =  (
6
7
)

d
 
 = 
AE
 
 =  (
-1 – (-2)
2 – (-3)
) =  (
1
5
)


Nun die einzelnen Dreiecke:

AABC = 
1
2
 · 
|
5  7
1  4
|
 = 
1
2
 · (5·4 – 7·1) = 
1
2
 · 13 = 6,5 FE

AACD = 
1
2
 · 
|
7  6
4  7
|
 = 
1
2
 · (7·7 – 6·4) = 
1
2
 · 25 = 12,5 FE

AADE = 
1
2
 · 
|
6  1
7  5
|
 = 
1
2
 · (6·5 – 1·7) = 
1
2
 · 23 = 11,5 FE


Gesamtfläche:

AFünfeck = 6,5 + 12,5 + 11,5 = 30,5 FE
 

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