Lektion
   Drachen und Rauten   
Worum geht es?
Der Flächeninhalt von Drachen und Rauten wird nach derselben Formel berechnet. Nach einer sehr einfachen Formel, wie du gleich sehen wirst!
 
In dieser Lektion lernst du:
1.Ein paar Infos zu Drachen und Rauten.
2.Ihren Flächeninhalt zu berechnen.
 
Drachen und Rauten
Drachen und Rauten sind achsensymmetrische Vierecke. Dabei gibt es bei Drachen eine, bei Rauten sogar zwei Symmetrieachsen.

Wenn man schnell eine Skizze von einem Drachen oder einer Rauten machen möchte, beginnt man nicht mit den Seiten, sondern mit den Diagonalen! Beim Drachen liegt eine Diagonale symmetrisch, eine unsymmetrisch. Bei Rauten liegen beide symmetrisch, halbieren sich also gegenseitig. Die Diagonalen bei einer Raute sind übrigens nicht gleich lang!

Beim Drachen sind je zwei nebeneinanderliegende Seiten gleich lang. Bei der Raute sogar alle vier!

Die Seiten liegen bei Vierecken immer im Uhrzeigersinn rechts vom Punkt gleichen Namens, also a rechts neben A usw. Die Diagonale e beginnt bei Punkt A, die Diagonale f bei Punkt B.
 

Der Flächeninhalt
Wenn man die Teil-Dreiecke der linken Hälfte abschneidet, umklappt und an der rechten Hälfte anlegt, erhält man ein Rechteck gleichen Flächeninhalts.

Die Höhe des Rechtecks ist die ursprüngliche Drachendiagonale e. Die Breite des Rechtecks ist die Hälfte der zweiten Drachendiagonalen f. Also ist die Fläche dieses Rechtecks, und damit die Fläche des Drachen:

ADrachen = 
1
2
 · e · f


Und weil die gleichen Überlegungen auch für den Spezialfall der Raute gelten, ist auch deren Flächeninhalt:

ARaute = 
1
2
 · e · f


Merke dir also, dass es bei Drachen und Rauten nicht auf die Seitenlängen ankommt, sondern auf die Diagonalen!
 



 
Merke:
Drachen und Raute:
A = 
1
2
 · e · f





Beispiel 1: 

Eine Raute besitze die Diagonalen e = 5 cm und f = 7,2 cm. Wie groß ist ihr Flächeninhalt?

A = 
1
2
 · e · f = 
1
2
 · 5 · 7,2 = 18 cm2
 
Beispiel 2: 

Ein Drachen besitzt den Flächeninhalt 50 cm2. Die erste Diagonale e ist 6 cm lang, wie groß ist die zweite Diagonale?

50 = 
1
2
 · 6 · f
  | : 3
f = 16,67 cm
 
Besonderheit: Quadrate
Der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge a beträgt:

AQuadrat = a2

Ist die Seitenlänge aber nicht gegeben sondern seine Diagonale, kann man den Flächeninhalt des Quadrats dadurch berechnen, dass man es als spezielle Raute betrachtet, bei der beide Diagonalen gleich lang sind.

Beispiel 3: 

Berechne den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Diagonalen 7 cm.

A = 
1
2
 · e · f = 
1
2
 · 7 · 7 = 24,5 cm2
 
Ein Quadrat
kann auch als Raute
mit gleich langen Diagonalen gesehen werden.



Spielereien
Ein Drachen habe eine Fläche von 90 cm2 und eine Diagonale e von 15 cm. e wird von f im Verhältnis von 1:2 geschnitten. Wie verteilt sich die Gesamtfläche auf die Flächen der vier Teildreiecke, aus denen der Drachen besteht?


Zunächst berechnen wir die zweite Diagonale.

90 = 
1
2
 · 15 · f  | : 7,5
f = 12 cm

Nun müssen wir den linken und den rechten Teil von e herausfinden. Im Verhältnis von 1:2 bedeutet, dass man insgesamt 3 Teile hat, von denen 1 links und zwei rechts liegen.

15 cm : 3 = 5 cm

e1 = 5 cm ; e2 = 2 · 5 = 10 cm

Flächeninhalt der Dreiecke III und IV:

AIII = AIV = 
1
2
 · 6 · 5 = 15 cm2

Flächeninhalt der Dreiecke I und II:

AI = AII = 
1
2
 · 6 · 10 = 30 cm2
 


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