Lektion
   Verknüpfungen   
Worum geht es?
Häufig werden geometrische Linien und Flächen als Kombinationen der einzelnen Grundelemente angegeben. Ein Parkplatz soll beispielsweise nicht mehr als 20 m von der Straße entfernt liegen und sich gleichzeitig innerhalb von 5 m um eine alte Eiche erstrecken. Hier wird das Äußere eines Parallelenpaares mit dem Inneren eines Kreises kombiniert.

Dabei können die einzelnen Bedingungen entweder mit UND oder mit ODER verknüpft werden.
 

       




Vorsicht: Jetzt wird es ein wenig tüfteliger!
In dieser Lektion lernst du
1.Verknüpfungen geometrischer Bedingungen mit UND: ˄.
2.Verknüpfungen geometrischer Bedingungen mit ODER: ˅.
 
Die UND – Verknüpfung.
Das Wort UND (nur groß geschrieben, um zu betonen, dass es nicht um das normale Wörtchen und im Satz geht) verwendet man in der Mathematik, um auszudrücken, dass zwei Dinge gleichzeitig gelten müssen. Einige sagen auch: "Und zugleich".

Das Symbol für UND ist:    ˄

Die Linie oder Fläche, die sich aus einer UND-Verknüpfung ergibt, ist immer die Schnittmenge der beiden Teillösungen.
 

Merke:     ˄  UND
UND-Verknüpfungen ergeben immer Schnittmengen!





Beispiel:

Die beiden Punkte A und B liegen 5 cm auseinander. Ich suche alle Punkte, die weniger als 4 cm von A UND weniger als 2 cm von B entfernt sind.

Beide Teilaussagen beschreiben das Innere von Kreisen. Zunächst das Innere eines Kreises von 4 cm um A und dann das Innere eines Kreises von 2 cm um B. Die UND-Verknüpfung verlangt, dass beides gelten muss, also geht es um die Schnittmenge dieser Kreisflächen.
 
Beispiel 2:

Ich suche alle Punkte, die näher an A als an B liegen UND deren Abstand von A weniger als 4 cm beträgt.

Zum ersten haben wir es mit der Halbebene links von der Mittelsenkrechten zu tun. Zum Zweiten mit dem Inneren des Kreises von 4 cm um A. Das Gesamtergebnis ist die Schnittmenge der beiden Flächen.
 
Die ODER – Verknüpfung.
Das Wort ODER verwendet man in der Mathematik, um auszudrücken, dass wenigstens eines von zwei Dingen gelten muss. Es dürfen gerne auch beide sein, aber eines genügt. Es wird also anders gebraucht als beim normalen Sprechen. Einige sagen auch: "Oder auch".

Das Symbol für ODER ist:    ˅

Die Linie oder Fläche, die sich aus einer ODER-Verknüpfung ergibt, ist immer die Vereinigungsmenge der beiden Teillösungen.

Das ist wesentlich einfacher als bei der UND-Verknüpfung. Bei einer ODER-Verknüpfung kennzeichnest du die erste Teilmenge, dann die zweite Teilmenge und – fertig! Die gesamte Fläche oder Linie ist die Lösung: Die Vereinigungsmenge eben.
 
Merke:     ˅  ODER
ODER-Verknüpfungen ergeben immer Vereinigungsmengen!







Beispiel:

Das gleiche Beispiel wie oben, aber mit ODER:

Ich suche alle Punkte, die weniger als 4 cm von A ODER weniger als 2 cm von B entfernt sind.

Beide Teilaussagen beschreiben wieder das Innere von Kreisen. Die ODER-Verknüpfung verlangt lediglich, dass mindestens eine Bedingung gelten muss, also geht es um die gesamte Vereinigungsmenge dieser Kreisflächen.
 
Beispiel 2:

Auch hier wieder das gleiche Beispiel wie oben, aber mit ODER:

Ich suche alle Punkte, die näher an A als an B liegen ODER deren Abstand von A weniger als 4 cm beträgt.

Zum ersten haben wir es wieder mit der Halbebene links von der Mittelsenkrechten zu tun. Zum Zweiten wieder mit dem Inneren des Kreises von 4 cm um A. Das Gesamtergebnis ist die Vereinigungsmenge der beiden Flächen.
 
Die mathematische Schreibweise
Nicht viel Neues hier: Man verknüpft einfach die beiden Teilaussagen mit ˄ oder mit ˅.

Unser erstes Beispiel von oben sähe in der UND-Version so aus:

{P | PA < 4 cm ˄ PB < 2 cm}


Unser zweites Beispiel in der ODER-Version:

{P | PA < PA ˄ PA < 4 cm}


 
Anwendung
Die neu zu bauende Bahnstrecke soll rechtsseitig entlang eines Flusses führen. Dabei soll sie aus Naturschutzgründen aber mindestens 100 m Abstand zum Fluss halten. Wegen des Lärmschutzes soll sie aber auch mindestens 200 m Abstand von der nahegelegenen Stadt bewahren. Wo darf die Strecke liegen?

Lösung: Die erste Forderung ergibt das Äußere der Parallelen mit Abstand von 100 m zum Fluss. Die zweite Forderung ergibt das Äußere eines Kreises von 200 m um die Stadt. Wegen der UND-Verknüpfung ist nur der Bereich zulässig, der beide Bedingungen erfüllt, also die Schnittmenge.
 

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