Lektion
   Parallelenpaar, Winkelhalbierende und Inkreis   
Worum geht es?
In der vorherigen Lektion ging es um Punkte, Linien und Flächen, die einen bestimmten Abstand von einem Punkt (Kreis), zwei Punkten (Mittelsenkrechte) und drei Punkten (Umkreis) haben.

Hier beschäftigen wir uns nun mit Punkten, Linien und Flächen, die einen vorgegebenen Abstand von einer Geraden (Parallelenpaar), zwei Geraden (Mittelparallele oder Winkelhalbierende) und drei Geraden (Inkreis) besitzen.
 




Ist auch nicht schwieriger als die letzte Lektion!
In dieser Lektion lernst du
1.Was ein Parallelenpaar ist.
2.Die Mittelparallele und die Winkelhalbierende zu zeichnen.
3.Was der Inkreis ist und wie man ihn konstruiert.
 
Das Parallelenpaar
Wo liegen alle Punkte, die einen bestimmten Abstand (z.B. 5 cm) von einer vorgegebenen Linie haben?

Natürlich auf zwei Geraden auf beiden Seiten zur ursprünglichen Linie und parallel zu dieser.

Diese beiden Geraden nennt man Parallelenpaar (p1 und p2).
 







Ist man an allen Punkten interessiert, die weniger als 5 cm von einer Linie entfernt sind, erhält man die Fläche innerhalb des Parallelenpaars.
 
Geht es hingegen um die Punkte, die mehr als 5 cm von einer Linie entfernt sind, erhält man die Fläche außerhalb des Parallelenpaars.

Mit den Formulierungen "mindestens" und "höchstens" kann man wieder erreichen, dass die Parallelen selbst mit zur Fläche hinzugezählt werden, genau wie beim Kreis.
 
Anwendung:

Um einen geradlinigen Bach herum soll Rasen gesät werden. Der Rasen soll aber nicht näher als 1 m an den Bach heran reichen, damit man direkt am Bach noch einen Weg anlegen kann.

Lösung: Der Rasen wird auf der Fläche außerhalb des Parallelenpaares gesät, das einen Meter Abstand vom Bach hat.
 
Mittelparallele und Winkelhalbierende
Wo kann ein Punkt liegen, wenn er den gleichen Abstand von zwei vorgegebenen Linien haben soll?

"In der Mitte" der beiden Linien, wirst du sagen. Allerdings sieht das etwas unterschiedlich aus, je nachdem, ob die ursprünglichen Linien parallel waren, oder nicht.
 








Eventuell verlangt dein Lehrer, dass du hierzu ein Lot fällst, mit der gleichen Technik, wie man eine Mittelsenkrechte zeichnet.









Bei parallelen Linien befindet sich der gesuchte Punkt auf einer Geraden, die genau in der Mitte zwischen den beiden ursprüngliche Linien liegt und parallel zu diesen verläuft. Man nennt sie deshalb Mittelparallele.
 
Soll der Punkt den gleichen Abstand haben von zwei nicht parallelen, also sich schneidenden Linien, wird er auf einer der beiden Winkelhalbierenden liegen.

Beachte bitte, dass es immer zwei Winkelhalbierende gibt. Die eine steht senkrecht auf der anderen.
 

Wie konstruiert man die Mittelparallele?

Man zeichnet die Parallele genau in der Mitte der beiden Linien ein. Dabei muss man darauf achten, dass man den Abstand zwischen den beiden Linien auch wirklich senkrecht misst.
 
Wie konstruiert man die Winkelhalbierende?

Zirkel im Schnittpunkt einstechen. Öffnung möglichst groß (wird dann genauer!).

Einen Kreisbogen ziehen, der die beiden Linien schneidet.

Die beiden Schnittpunkte miteinander verbinden.

Eine Mittelsenkrechte auf diese Verbindungslinie konstruieren (wie in der vorherigen Lektion beschrieben).

Eine Gerade durch den Schnittpunkt der ursprünglichen Linien und die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten ziehen: Voilà die erste Winkelhalbierende.

Die zweite Winkelhalbierende einfach senkrecht auf die erste zeichnen, so dass sie ebenfalls durch den Schnittpunkt der ursprünglichen Linien geht.
 
Anwendung:

Auf einer Party werden zwei 10 m lange Reihen von Lampions geradlinig so aufgehängt, dass sie sich an einer Ecke des Raumes treffen. Genau zwischen den beiden Reihen soll eine Lichterkette angebracht werden. Wie bekommt man heraus, wo die Lichterkette verlaufen soll?

Die Lichterkette muss auf der Winkelhalbierenden der beiden Lampion-Reihen verlaufen.
 
Die mathematische Schreibweise
Du hast es sicher schon geahnt: Das ist entschieden zu einfach. Deshalb hat man die mathematische Schreibweise entwickelt:

Parallelenpaar:  (p1, p2) = {P | d(P; g) = a}

Erklärung: Während man den Abstand zwischen zwei Punkten A und B mit AB beschreibt, nimmt man für den Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g die Schreibweise: d(P; g). d soll wohl für das englische "distance" stehen. Warum man das nicht einheitlich macht, weiß der Teufel. d(P; g) = a bedeutet also, dass der Abstand der Punkte P zur Geraden g einen festen Wert a beträgt.

Wie du feststellen wirst, gibt es keinen Unterschied zwischen Mittelparallele und Winkelhalbierender. Es ist ja auch exakt das Selbe, nur dass die ursprünglichen Geraden einmal parallel verlaufen und einmal nicht.
 

Mathematische Schreibweise:
Parallelenpaar: 
(p1, p2) = {P | d(P; g) = a}
Mittelparallele: 
p = {P | d(P, g) = d(P, h)}
Winkelhalbierende: 
p = {P | d(P, g) = d(P, h)}
Inkreismittelpunkt: 
M = {P | d(P, f) = d(P, g) = d(P, h)}
Der Inkreis
Ein Parallelenpaar ergibt sich, wenn alle Punkte den gleichen Abstand von EINER Geraden haben.

Eine Mittelparallele oder eine Winkelhalbierende ergibt sich, wenn alle Punkte den gleichen Abstand von ZWEI Geraden haben.

Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Punkt, der den gleichen Abstand von DREI Geraden hat.

Wenn du den Zirkel in diesem Punkt einstichst, und ihn so öffnest, dass er eine Linie gerade berührt, so verläuft der Kreis innerhalb der drei Linien und berührt diese.
 




Wie konstruiert man den Inkreis?

Du musst für alle Winkel, wo sich zwei der Linien schneiden, die Winkelhalbierende konstruieren. Wo sich die drei Winkelhalbierenden schneiden, ist der Inkreismittelpunkt.


Nun musst du den Zirkel in diesem Inkreismittelpunkt einstechen und so weit öffnen, dass er eine Linie gerade so berührt. Hierzu erstellt man das Lot (die Senkrechte) vom Inkreismittelpunkt auf eine Linie. Man öffnet den Zirkel genau bis zum Schnittpunkt dieses Lots mit der Linie.
 
Anwendung:

Ein Gärtner möchte auf einer Rasenfläche seinen Rasensprenger möglichst genau in der Mitte zwischen drei geradlinigen Wegen so aufstellen, dass das Wasser zwar bis an die Wege heranreicht, die Leute, die dort gehen, aber nicht mehr trifft.

Lösung: Er sucht den Inkeismittelpunkt der drei Wege.
 

Fehler gefunden oder Anregungen?