Wenn eine Gerade von einer anderen Geraden geschnitten wird, bilden sich 4 Winkel. Sind sie alle beliebig und verschieden, oder haben sie etwas miteinander zu tun?

Wenn zwei parallele Geraden von einer anderen geschnitten werden, bilden sich an jedem der beiden Schnittpunkte 4 Winkel. Wie ist es mit diesen 8 Winkeln?

Wenn eine Gerade von einer anderen Geraden geschnitten wird, bilden sich 4 Winkel. Und du siehst sofort, dass sie nicht alle verschieden sind.

Zwei sich gegenüber liegende Winkel – man nennt sie Scheitelwinkel – sind immer gleich groß.

α = γ    und    β = δ

Zwei Winkel, die nebeneinander liegen – man nennt sie Nebenwinkel – ergänzen sich immer zu einer kompletten Geraden, also zu 180°.

α + β = 180°  ;  β + γ = 180°

γ + δ = 180°  ;  δ + α = 180°

Nun schauen wir uns die Situation an, die entsteht wenn zwei parallele Geraden von einer anderen Geraden geschnitten werden.

Hier entstehen an jedem der beiden Schnittpunkte wieder 4 Winkel, für deren Scheitel- und Nebenwinkel wieder das oben Gesagte gilt.

Da zwei der Geraden parallel sind, kann man aber auch die Winkel an verschiedenen Schnittpunkten miteinander vergleichen:

α ist genau der gleiche Winkel wie α', nur dass α' eine Stufe höher liegt. Man nennt die beiden deshalb "Stufenwinkel".

Das Gleiche gilt natürlich auch für β und β' usw.

Stufenwinkel sind also immer gleich groß!

Und wie ist es, wenn man γ und α' miteinander vergleicht?

Auch die sind gleich groß, denn γ ist ja genauso groß wie γ' (nur eine andere Stufe) und γ' und α' liegen sich ja direkt gegenüber (Scheitelwinkel).

Um von γ zu α' zu gelangen, muss man nur einmal schräg die Seite wechseln, deshalb nennt man sie Wechselwinkel. Viele sagen auch Z-Winkel, weil sich eine Art Z ergibt.

Wechselwinkel (Z-Winkel) sind also ebenfalls immer gleich groß.

Nachdem du weißt, wie sich die Winkel an den Schnittpunkten verhalten, kannst du unbekannte Winkel leicht ausrechnen.


Aufgabe 1:

α = 40°. Berechne β, γ und δ.

Lösung:

γ ist genauso groß wie α (Scheitelwinkel), also:  γ = 40°

β ist der Nebenwinkel zu α, also:  β = 180° – 40° = 140°

δ ist wieder genauso groß wie β, also: δ = 140°

Aufgabe 2:

Berechne α, β, γ und δ.

Lösung:

2α und 3α sind Nebenwinkel, also ergeben sie zusammen 180°:

2α + 3α = 180°.
5α = 180°   | : 5
α = 36°

γ = 2α = 2·36° = 72°
δ = 3α = 3·36° = 108°