Lektion
   Dreiecke und ihre Winkelsumme   
Worum geht es?
Überall im Bauwesen und im Design muss man Längen und Winkel in allen möglichen Konstruktionen berechnen. Das können Häuser sein oder Bürogebäude, Brücken, Flugzeuge oder Motorräder.

Alle Konstruktionen, außer die runden – sind im Endeffekt aus Dreiecken aufgebaut. Oder Vier- und Fünfecke etc., aber die kann man ja auch wieder in Dreiecke unterteilen.
 
Wie man mit Dreiecken rechnet, ist deshalb das wichtigste Thema der Geometrie. In der 8., 9. und 10. Klasse werden wir das alles lernen. Hier beginnt man mit etwas einfachem aber sehr wichtigem: der Winkelsumme.
 
In dieser Lektion lernst du
1.Dreiecksarten.
2.Die Summe der Innenwinkel im Dreieck.
3.Die Summe der Außenwinkel im Dreieck.
4.Die Summe der Winkel in Vier- und n-Ecken.
 
Wiederholung: Arten von Dreiecken
Nach Winkel unterscheidet man:

spitzwinklige Dreiecke  (alle Winkel kleiner als 90°)
  
rechtwinklige Dreiecke    (ein Winkel gleich 90°)
  
stumpfwinklige Dreiecke     (ein Winkel größer als 90°)
 




Nach Seiten unterscheidet man:

gleichschenklige Dreiecke  (zwei Seiten sind gleich – sie heißen "Schenkel", die dritte Seite heißt Basis.)
  
gleichseitige Dreiecke (alle drei Seiten sind gleich)
  
allgemeine Dreiecke (ohne Besonderheiten)
 

Bezeichnungen im Dreieck:

Die Punkte eines Dreiecks bezeichnet man mit Großbuchstaben: A, B und C.

Sie sind gegen den Uhrzeigersinn angeordnet.

Die Seiten heißen a, b, c und liegen den Punkten gleichen Namens gegenüber.

Die Winkel heißen α, β, und γ und liegen bei den Punkten gleichen Namens.
 
Die Summe der Innenwinkel
Schau dir dein Geodreieck an.

Wie groß ist der Winkel an der Spitze?
Wie groß sind die beiden Winkel unten links und rechts?

Antwort: 90° und zwei mal 45°!

Alle drei Winkel ergeben also zusammen 180°.
Zufall?
 

Merke:
Die Summe der Innenwinkel eines Dreieckes ist immer  180°
Nun zeichne dir ein beliebiges, recht großes Dreieck auf ein Blatt Papier. Messe auch hier alle drei Winkel. Addiere sie.

Ergebnis: Wieder 180°
(eventuell kleine Abweichungen wegen Ungenauigkeiten)

Dies ist kein Zufall!

Egal, wie ein Dreieck aussieht, die Summe seiner (Innen-)Winkel ist immer 180°!
 
Anwendung
Mit dem Wissen, dass die Winkel im Dreieck zusammen 180° ergeben, kann man unbekannte Winkel auszurechnen.

Beispiel 1:

In einem Dreieck sind die Winkel α = 20° und γ = 110°. Wie groß ist β?

Lösung: 

Da alles zusammen 180° ergibt, erhält man β, indem man die anderen beiden von 180° abzieht:
β = 180° – 20° – 110° = 50°.
 







Beispiel 2:

In einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis AB ist der Winkel α = 40°. Berechne die beiden restlichen Winkel.

Lösung:

gleichschenklig → β = α = 40°
γ = 180° – 2 · 40° = 100°
 
Die Summe der Außenwinkel
Die Winkel im Dreieck sind ungeheuer wichtig. Die Winkel außerhalb hingegen nicht so ganz. Trotzdem sei hier erklärt, worum es geht:

Außenwinkel nennt man den Winkel, der sich an einem Eckpunkt außen ergibt, wenn man eine Seite (egal welche) verlängert.

α1 ist der Außenwinkel zu α.
β1 ist der Außenwinkel zu β etc.
 



Wie man sieht, ergänzen sich ein Innen- und der entsprechende Außenwinkel immer zu 180°.

α + α1 = 180°    β + β1 = 180°  etc.
 
Wenn man alle Außenwinkel zusammen zählt, ergibt sich eine Summe von 360°:

α1 + β1 + γ1 = 360°

Aber, ehrlich gesagt: Man kommt wunderbar ohne dieses Wissen klar!

Den Innenwinkel-Satz braucht man absolut! Und man sollte auch wissen, was ein Außenwinkel ist. Und das reicht!
 
Die Winkel in Vierecken und anderen n-Ecken
Wenn man weiß, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° ergibt, kann man sich leicht überlegen, wie dies beim Viereck, Fünfeck, etc. ist.

Ein Viereck kann man in zwei Dreiecke unterteilen. Die Winkel addieren sich, also ergeben alle Winkel zusammen

2 · 180° = 360°.
 
Merke:
Die Innenwinkel im Viereck ergeben zusammen  360°.





Ein Fünfeck kann man in drei Dreiecke unterteilen. Die Winkel addieren sich, also ergeben alle Winkel zusammen 3 · 180°, also 540°.


Ein n-Eck kann man somit in n – 2 Dreiecke unterteilen. Die Winkel addieren sich wieder, also ergeben alle Winkel zusammen (n – 2) · 180°.

Viel Spaß beim Rechnen!  :O)
 

Fehler gefunden oder Anregungen?