Endlich einmal ein einfaches Thema! Denn Ungleichungen zu lösen ist kaum etwas anderes als Gleichungen zu lösen! Mit nur ein, zwei kleinen Ausnahmen.

3x – 7 < 8

Ungleichungen ergeben sich wie Gleichungen, wenn man weiß, was bei einer Formel herauskommt und man das x sucht, bei dem dies passiert. Hier gibt man aber nicht eine bestimmte, feste Zahl als Lösung an, sondern nur eine Ober- oder Untergrenze. Deshalb < und > statt =.

Man löst Ungleichungen wirklich ganz genauso wie Gleichungen. Also:

1. Vereinfachen
2. Umformungen mit  + oder  - 
3. Umformungen mit  · oder :

Nur, dass statt des Gleichheitszeichens ein < oder
ein > steht. Oder natürlich ein ≤ oder ein ≥.

Allerdings mit einer Ausnahme:

Teilt man durch eine negative Zahl,
so dreht sich das Zeichen um!

Beispiele:

4x + 3 < 15  | – 3
4x < 12  | : 4        Zeichen bleibt!
x < 3

-2x + 6 < 14  | – 6
-2x < 8  | : (-2)
x > -4                  Zeichen dreht sich um!

Warum ist das so? 

Betrachten wir das Verhältnis zweier Zahlen 4 und 10. Natürlich ist 4 kleiner als 10:

4 < 10

Nun dividieren wir durch eine negative Zahl:

4 < 10  | : (-2)
-2 .... -5

Na? Siehst du es? Beim Ergebnis drehen sich die Verhältnisse plötzlich um: -2 ist größer als -5!

-2 > -5

Das geschieht deshalb, weil wir auf die negative Seite der Zahlengerade wechseln.



OK. Wir merken uns also: Zeichen umdrehen, wenn durch eine Minuszahl geteilt wird.

Die Lösungsmenge schreibt man bei Ungleichungen folgendermaßen auf:

L = {x | x < 3}

Weil es ewig viele Zahlen gibt, die kleiner als 3 sind, kann man sie nicht einfach aufzählen. Daher wählt man diese Form.

Übersetzt: "Die Menge aller x für die gilt: x < 3"  ;O)

0,5x + 3,5 + 4x – 2 ≥ -16,5
4,5x + 1,5 ≥ -16,5  | – 1,5
4,5x ≥ -18  | : 4,5      das Zeichen bleibt
x ≥ -4              L = {x | x ≥ -4}

3,2x + 1,7 + 0,4 – 3,8x ≥ -1,5
-0,6x + 2,1 ≥ -1,5  | – 2,1
-0,6x ≥ -3,6  | : (-0,6)    das Zeichen dreht sich um
x ≤ 6                L = {x | x ≤ 6}