Lektion
   Ungleichungen lösen   
Worum geht es?
Endlich einmal ein einfaches Thema! Denn Ungleichungen zu lösen ist kaum etwas anderes als Gleichungen zu lösen! Mit nur ein, zwei kleinen Ausnahmen.

3x – 7 < 8

Ungleichungen ergeben sich wie Gleichungen, wenn man weiß, was bei einer Formel herauskommt und man das x sucht, bei dem dies passiert. Hier gibt man aber nicht eine bestimmte, feste Zahl als Lösung an, sondern nur eine Ober- oder Untergrenze. Deshalb < und > statt =.
 



          
Auch Ungleichungen sind Rätsel. Ich sage dir, was höchstens oder mindestens rauskommt. Sag du mir, was man dazu einsetzen muss.
In dieser Lektion lernst du
1.Einfache Ungleichungen zu lösen.
2.Wann das Zeichen umgekehrt wird.
3.Wie man die Lösungsmenge angibt.
 
Ungleichungen lösen
Man löst Ungleichungen wirklich ganz genauso wie Gleichungen. Also:


1. Vereinfachen
2. Umformungen mit  + oder  - 
3. Umformungen mit  · oder :


Nur, dass statt des Gleichheitszeichens ein < oder
ein > steht. Oder natürlich ein ≤ oder ein ≥.
 

Bei mathepanik.de findest du das Zeichen ≤ für "kleiner oder gleich" und ≥ für "größer oder gleich". Am Computer ist das einfacher als die andere Schreibweise mit richtigem = unter dem <.



Merke:
Teilt man durch eine negative Zahl, so dreht sich das Zeichen um!





   




Das Zeichen dreht sich ebenfalls um, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert wird. Kommt aber eher selten vor.

Allerdings mit einer Ausnahme:

Teilt man durch eine negative Zahl,
so dreht sich das Zeichen um!
 

Beispiele:

4x + 3 < 15  | – 3
4x < 12  | : 4        Zeichen bleibt!
x < 3

-2x + 6 < 14  | – 6
-2x < 8  | : (-2)
x > -4                  Zeichen dreht sich um!
 
Warum ist das so? 

Betrachten wir das Verhältnis zweier Zahlen 4 und 10. Natürlich ist 4 kleiner als 10:

4 < 10

Nun dividieren wir durch eine negative Zahl:

4 < 10  | : (-2)
-2 .... -5

Na? Siehst du es? Beim Ergebnis drehen sich die Verhältnisse plötzlich um: -2 ist größer als -5!

-2 > -5

Das geschieht deshalb, weil wir auf die negative Seite der Zahlengerade wechseln.



OK. Wir merken uns also: Zeichen umdrehen, wenn durch eine Minuszahl geteilt wird.
 
Aufschreiben der Lösungsmenge
Die Lösungsmenge schreibt man bei Ungleichungen folgendermaßen auf:

L = {x | x < 3}

Weil es ewig viele Zahlen gibt, die kleiner als 3 sind, kann man sie nicht einfach aufzählen. Daher wählt man diese Form.

Übersetzt: "Die Menge aller x für die gilt: x < 3"  ;O)
 
Das Zeichen | heißt in mathematisch: "für die gilt".

Ziemlich geschwollen dieses Mathematiker-Deutsch!!
Beispiele
0,5x + 3,5 + 4x – 2 ≥ -16,5
4,5x + 1,5 ≥ -16,5  | – 1,5
4,5x ≥ -18  | : 4,5      das Zeichen bleibt
x ≥ -4              L = {x | x ≥ -4}
 

3,2x + 1,7 + 0,4 – 3,8x ≥ -1,5
-0,6x + 2,1 ≥ -1,5  | – 2,1
-0,6x ≥ -3,6  | : (-0,6)    das Zeichen dreht sich um
x ≤ 6                L = {x | x ≤ 6}
 

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