Lektion
   Vermischte Übungen   
Worum geht es?

Plus/Minus- und Mal/Geteilt-Rechnungen beherrschst du inzwischen auch für Kommazahlen und Brüche. Also geht es jetzt wieder um längere Aufgaben und solche, bei denen alle Rechenarten vermischt vorkommen.
 
In dieser Lektion lernst du
1.Längere Aufgaben mit Hilfe des Kommutativgesetzes, des Assoziativgesetzes und des Distributivgesetzes zu lösen.
 
Vertauschen und Zusammenfassen
Erinnerst du dich?

Bei längeren Aufgaben darf man beliebig vertauschen. (Kommutativgesetz und Assoziativgesetz)

Kommutativgesetz

4 + 7 = 7 + 4
4 · 7 = 7 · 4

Assoziativgesetz

3 + 6 + 4 = 3 + (6 + 4)
3 · 6 · 4 = 3 · (6 · 4)
 


           





Bei Minus darf nur vertauscht werden, wenn man sie wie Schulden addiert.

Oder: Beim Vertauschen nimmt man das Rechenzeichen als Vorzeichen mit.







Mal- und
Geteilt-Ketten stellt man sich am besten als großen Bruch vor.
Aber Vorsicht: 

Bei einer Minus-Rechnung darfst du die beiden Zahlen nur dann vertauschen, wenn du wieder die abzuziehende Zahl als Schulden begreifst und diese addierst.

0,3 – 1,8 + 3,7 – 1,2 = -1,8 – 1,2 + 0,3 + 3,7 = -3 + 4 = 1
 
Nochmals Vorsicht:

Bei Geteilt darfst du die Zahlen nur dann vertauschen, wenn du es richtig machst: Stell dir das Ganze wieder als Bruch vor: Alles was multipliziert wird, steht oben, alles was dividiert wird, unten. Du darfst also alle Zahlen, die oben stehen, durch alle Zahlen, die unten stehen teilen.

4,5 : 1,3 · 5,2 : 1,8 · 1,1 

4,5 · 5,2 · 1,1
1,3 · 1,8


(4,5 : 1,8) · (5,2 : 1,3) · 1,1  =  2,5 · 4 · 1,1  = 11
 
Minuszahlen in Potenzen
(-3,6)3 

Auch bei Potenzen gilt für Kommazahlen und Brüche natürlich das Gleiche wie bei ganzen Zahlen:

gerade Hochzahl  → Plus
ungerade Hochzahl  → Minus


(-1,3)2 = -1,3 · (-1,3) = +1,69
 
Klammer vor Punkt vor Strich
Kommen Plus und Minus mit Mal und Geteilt vermischt in einer Aufgabe vor, gilt auch hier wieder: 

Klammer vor Punkt vor Strich.

4,2 + 0,8 · (3,2 – 8,6) – 3,4 

4,2 + 0,8 · (3,2 – 8,6) – 3,4 =    → zuerst die Klammer
4,2 + 0,8 · (-5,4) – 3,4 =        → jetzt Punkt
4,2 + (-4,32) – 3,4 =            → und jetzt erst Strich
-3,52
 
Lass dich auf keinen Fall von Zahlen, die gut zusammen zu passen scheinen, verführen, falsch zu rechnen (wie hier 4,2 und 0,8 oder 0,8 und 3,2).
Das Distributivgesetz
Erinnerst du dich?

Ab und zu kann es günstiger sein, eine Klammer nicht auszurechnen, sondern aufzulösen.

1,5 · (2 + 30) = 1,5 · 2 + 1,5 · 30 = 3 + 45 = 48 

Das Gleiche machst du manchmal im Kopf, wenn du eine komplizierte Zahl in zwei einfache zerlegst:

3 · 1,8 = 3 · (2 – 0,2) = 3·2 – 3·0,2 = 6 – 0,6 = 5,4
 

Distributivgesetz
1,5 · (2 + 30) = 1,5·2 + 1,5·30
1,7·2,8 + 1,7·0,2 = 1,7·(2,8 + 0,2)
Funktioniert auch bei Geteilt.
Manchmal ist der Weg rückwärts lohnenswert. Man fasst zwei Zahlen, die mit der gleichen Zahl multipliziert werden sollen, zusammen:

1,7 · 2,8 + 1,7 · 0,2 = 1,7 · (2,8 + 0,2) = 1,7·3 = 5,1

Dieser Trick funktioniert auch bei Geteilt.
 
Beispiele
-2,7 + 3,5 – 5,1 + 1,7 – 0,9 + 1,5 =
-2,7 + 1,7 + 3,5 + 1,5 – 5,1 – 0,9 =
-1 + 5 – 6 =
-2
 



-0,25 · 2,1 · (-0,4) · 9 : (-0,7) =
– 0,25 · 0,4 · 2,1 : 0,7 · 9 =
-1 · 3 · 9 =
-27
 
1,6 – 0,4 · (3,7 – 5,2) + (-1,5)2 =
1,6 – 0,4 · (-1,5) + 2,25 =
1,6 + 6 + 2,25 =
9,85
 
3,7 · 8 – 0,9 · 2,3 – 1,2 · 8 + 4,9 · 2,3 =
(3,7 – 1,2) · 8 + (-0,9 + 4,9) · 2,3 =
2,5·8 + 4·2,3 =
20 + 9,2 =
29,2
 

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