Lektion
   Zehnerpotenzen   
Worum geht es?
In der Wissenschaft, in der Medizin aber auch in Wirtschaftsfragen tauchen immer wieder sehr große Zahlen auf mit vielen, vielen Nullen. Etwa bei der Entfernung zwischen zwei Planeten. Oder auch sehr kleine Zahlen, wieder mit sehr vielen Nullen, dieses Mal aber hinter dem Komma, zum Beispiel wenn es um die Größe eines Bakteriums geht.
 
Um bei den vielen Nullen noch den Überblick zu behalten, schreibt man die Zahl gerne in Form einer Zehnerpotenz.

3 · 106

Hier sieht man sofort, um welche Größenordnung es sich handelt (Millionen).
 
In dieser Lektion lernst du
1.Sehr große und sehr kleine Zahlen in Form von Zehnerpotenzen zu schreiben.
2.Mit Zehnerpotenzen zu rechnen.
 
Zehnerpotenzen für große Zahlen
Zehnerpotenzen sind einfach nur Vielfache von 10. Also 10, 100, 1000 usw.

Zunächst müssen wir uns klar machen, wie diese Vielfachen als Zehnerpotenzen geschrieben werden:

1 = 100
10 = 101
100 = 102
1.000 = 103          1 Tausend
10.000 = 104
100.000 = 105
1.000.000 = 106           1 Million
10.000.000 = 107
100.000.000 = 108
1.000.000.000 = 109           1 Milliarde
usw.
 



Merke:

Neue Namen gibt es immer in Tausender-Schritten (Tausend, Million, Milliarde, Billion etc.).

Bei den Zehnerpotenzen haben deshalb die Vielfachen der 3 in der Hochzahl neue Namen: 103, 106, 109, ...
Große Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise
Nun möchte man bei großen Zahlen nicht lange damit rum tun, die Nullen zu zählen. Stattdessen soll die Größenordnung auf den ersten Blick zu erkennen sein.

Statt 2000000 schreibt man gerne: 2 · 106

Zwei mal eine Million. Man sieht bei dieser Schreibweise sofort, dass es sich um eine Zahl im Millionen-Bereich handelt, wegen der 106.

Statt 500000 schreibt man: 5 · 105

Das ist eine Zahl im Hundertausender-Bereich.
 












Trick:

Für den letzten Schritt musst du nur die Anzahl der Stellen zählen, um vom Komma bis zum Ende der Zahl zu kommen:












Erde und Mond sind also etwa 30 Erd-Durchmesser voneinander entfernt.

Die Erde passt 100 mal nebeneinander in die Sonne.
Jetzt denkst du, du müsstest nur die Nullen zählen. Das stimmt aber nicht ganz!

Statt 45000000 schreibt man nämlich: 4,5 · 107

Man sorgt immer dafür, dass vor der Zehnerpotenz eine Zahl mit nur einer Stelle vor dem Komma steht. Deshalb die 4,5 und nicht etwa die 45. Warum? Damit man wieder direkt an der Zehnerpotenz (107) sieht, dass es sich um eine Zahl im Zehn-Millionen-Bereich handelt.
 
So gehst du vor:

2370000

Zunächst schreibst du die Zahl so um, dass nur eine Stelle vor dem Komma steht. Angehängte Nullen lässt du weg.

2,37

Dann überlegst du dir, mit welcher Zehnerpotenz du diese Zahl malnehmen musst, um wieder die ursprüngliche zu bekommen.

2,37 · 106
 
Beispiele:

Entfernung Erde-Mond: 
384.000 km  =  3,84 · 105 km

Durchmesser Erde: 
12700 km  =  1,27 · 104 km


Entfernung Erde-Sonne:
150.000.000 km  =  1,5 · 108 km

Durchmesser Sonne
1.400.000 km  =  1,4 · 106 km
 
Zehnerpotenzen für kleine Zahlen
Schreibt man kleine Zahlen als Zehnerpotenz, bekommt man negative Hochzahlen!

0,001 = 10-3

Warum?

0,001 ist ja ein Tausendstel. Also 1 durch Tausend, und damit 1 durch 103. Und das ist ja, wie wir wissen: 10-3.

0,001 = 
1
1000
 = 
1
103
 = 10-3
 











Merke:

10-3 : Die 1 steht an der 3. Stelle hinter dem Komma.
10-4 : Die 1 steht an der 4. Stelle hinter dem Komma.
10-6 : Die 1 steht an der 6. Stelle hinter dem Komma. usw..
So ergeben sich folgende Zehnerpotenzen:

1 = 100
0,1 = 10-1
0,01 = 10-2
0,001 = 10-3          1 Tausendstel
0,0001 = 10-4
0,00001 = 10-5
0,000001 = 10-6           1 Millionstel
0,0000001 = 10-7
0,00000001 = 10-8
0,000000001= 10-9           1 Milliardstel
usw.
 
Kleine Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise
Wieder schreibt man die Zahlen so um, dass man ihre Größenordnung leicht erkennen kann. Dazu wird die Zahl auch hier mit nur einer Stelle vor dem Komma geschrieben. Danach kommt die Zehnerpotenz, mit der die Zahl malgenommen werden muss.

0,004  =  4 · 10-3
Die 4 steht an der dritten Stelle hinter dem Komma.

0,00007  =  7 · 10-5
Die 7 steht an der 5. Stelle hinter dem Komma.

0,036  = 3,6 · 10-2

Hier steht die 3 an der zweiten Stele hinter dem Komma. Es kommt auf die 3 an, also auf die erste Ziffer!

0,00624  =  6,24 · 10-3

Die erste Ziffer, also die 6 steht an der dritten Stelle hinter dem Komma.
 












Viren 
sind 100 mal kleiner als Bakterien. Bakterien können selbständig leben, Viren nicht! Sie befallen Menschen, Tiere, Pflanzen und Bakterien.
Durchmesser eines Haares: 
0,00005 m  =  5 · 10-5 m

Größe eines Bakteriums:
0,000002 m  =  2 · 10-6 m
(2 Millionstel Meter  oder 2 Tausendstel Millimeter)

Größe eines Virus:
0,00000002 m  =  2 · 10-8 m (20 Nanometer)
 
Rechnen mit Zehnerpotenzen
Das Rechnen mit großen und kleinen Zahlen ist in der Zehnerpotenz-Schreibweise sehr einfach, weil man die Potenzgesetze anwenden kann:

3·104 · 5·103 = 15·107 = 1,5 · 108

Man multipliziert also zunächst die normalen Zahlen, danach die Zehnerpotenzen, wobei man bei diesen einfach die Hochzahlen addieren kann.

4,8·107 : (1,2·103) = 4·104

Unten teilen, oben die Hochzahlen subtrahieren.
 


15 · 107 = 1,5·108

Vorne einen Zehner nach links (15 → 1,5),

oben einen Zehner nach rechts (107 → 108)

Besonders interessant wird das Ganze, wenn man Quadrieren, oder hoch drei rechnen soll:

Wie groß ist die Fläche eines Quadrates mit der Länge 5·103 cm?

Fläche des Quadrates:  (Länge) 2 

(5·103)2  = 52 · (103)2 = 25·106 = 2,5·107 cm2
 
Wie groß ist das Volumen eines Würfels mit der Seitenlänge 4·10-2 cm?

Volumen eines Würfels: (Länge) 3

(4·10-2)3 = 43 · (10-2)3 = 64·10-6 = 6,4·10-5 cm3
 

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