Lektion
   Vermischte Übungen   
Worum geht es?
In den letzten beiden Lektionen haben wir Plus/Minus- und Mal/Geteilt-Rechnungen in Reinkultur erlebt. In der Praxis kommen sie aber oft gemischt und als längere Kettenaufgaben vor.

Um solche Aufgaben richtig und geschickt rechnen zu können, brauchen wir noch ein paar Tricks.
 
In dieser Lektion lernst du
1.Kettenaufgaben geschickt lösen.
2.Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
3.Wie man mit Minuszeichen bei Potenzen umgeht.
4.Wozu man das Distributivgesetz braucht.
 
Vertauschen und Zusammenfassen
Das Rechnen mit ganzen Zahlen kann manchmal recht aufwendig werden, vor allem, wenn man gleich mit ganzen Zahlenkolonnen rechnen soll.

-18 + 52 – 46 + 27 – 16 
-4 · 7 · (-3) : 4 · (-5)

Da empfiehlt es sich nicht mehr, von links nach rechts eine Rechnung nach der anderen auszuführen. Vielmehr sollte man nach Herzenslust vertauschen und zusammenfassen, was sich leicht berechnen lässt.
 












Kommutativgesetz
4 + 7 = 7 + 4
4 · 7 = 7 · 4
Assoziativgesetz
3 + 6 + 4 = 3 + (6 + 4)
3 · 6 · 4 = 3 · (6 · 4)






   
Bei Minus darf nur vertauscht werden, wenn man sie wie Schulden addiert.











   
Mal- und Geteilt-
Ketten stellt man sich am besten als großen Bruch vor.
Dass man das tun darf, dafür sorgen zwei Gesetze:

Das Kommutativgesetz besagt, dass man die Reihenfolge beliebig vertauschen darf.

Und das Assoziativgesetz besagt, dass man von mehreren Zahlen gerne auch zuerst die hinteren statt die vorderen zusammenfassen darf.

Beide zusammen sorgen dafür, dass du in beliebiger Reihenfolge rechnen darfst.
 
Aber Achtung:

Eigentlich gilt diese Regel der beliebigen Reihenfolge nur für Plus und Mal, nicht aber für Minus und Geteilt.

Wenn du aber mit Minus so umgehst, wie in der vorletzten Lektion besprochen, dass du statt Minus zu rechnen einfach die Zahlen als Schulden siehst und Plus rechnest, dann darfst du auch hier gerne vertauschen.

-13 – 6 + 3 – 4  Hier passen die -13 und die + 3 gut zusammen und ergeben -10 und die -6 und die -4 ergeben ebenfalls -10. Das ganze also -20.
 
Mit dem Vertauschen bei Geteilt ist das so eine Sache: Du darfst es, wenn du es richtig machst:

4 : 3 : 5 · 9 : 2 · 10  Am besten, du stellst dir das ganze wie einen großen Bruch vor: Alle Mal-Zahlen stehen oben, alle Geteilt-Zahlen unten. Dann darfst du alles beliebig miteinander verrechnen (praktisch kürzen).

4 · 9 · 10
3 · 5 · 2


(10 : 5) · (9 : 3) · (4 : 2)  =  2 · 3 · 2  =  12

Auf keinen Fall aber zwei Geteilt-Zahlen durcheinander teilen (stehen ja beide unten).
 
Minuszahlen in Potenzen
43 

Potenzen sind Abkürzungen dafür, dass eine Zahl soundso oft mit sich selbst malgenommen werden soll:  43 = 4 · 4 · 4 = 64



Was passiert nun eigentlich, wenn eine Potenz mit einer Minuszahl geschrieben wird?  (-4)2

(-4)2 = -4 · (-4) = +16

Hier entsteht ein Plus, weil es insgesamt zwei Minuszeichen sind, die ja zusammen zu Plus werden.

(-4)3 = -4 · (-4) · (-4) = -64

Hier wird das Ergebnis negativ, weil es drei Minuszeichen sind, eines sozusagen übrig bleibt.

Sicherlich hast du das System schon erkannt: Bei einer geraden Hochzahl wird das ganze positiv, weil immer je zwei Minuszeichen zu Plus werden. Bei einer ungeraden Hochzahl wird es entsprechend negativ.
 






Potenzen
mit negativen Zahlen
 (-3)5

gerade Hochzahl → Plus
ungerade Hochzahl → Minus
Klammer vor Punkt vor Strich
Nun schauen wir uns an, wie man vorgeht, wenn Plus und Minus mit Mal und Geteilt vermischt in einer Aufgabe vorkommen.

4 + 6·(3 – 7) – 7 

Klammer vor Punkt vor Strich:

4 + 6·(3 – 7) – 7 =      zuerst die Klammer
4 + 6 · (-4) – 7 =        jetzt Punkt
4 + (-24) – 7 =          und jetzt erst Strich
-27
 

Lass dich auf keinen Fall von Zahlen, die gut zusammen zu passen scheinen, verführen, falsch zu rechnen (wie hier 4 und 6 oder 7 und 7).
Das Distributivgesetz
Ab und zu kann es günstiger sein, eine Klammer nicht auszurechnen, sondern aufzulösen.

5 · (2 + 10) 

Statt 5 · 12 rechnet man manchmal lieber

5·2 + 5 · 10  also 10 + 50 = 60

Manchmal – eigentlich sogar öfter – ist der Weg rückwärts lohnenswert. Man fasst zwei Zahlen, die mit der gleichen Zahl multipliziert werden sollen, zusammen:

7 · 4 + 7 · 6

Statt mühsam 28 und 42 auszurechnen und zu addieren, sieht man vielleicht gleich, dass 4 und 6 zu 10 werden:

7 · 4 + 7 · 6 = 7 · (4 + 6) = 70

Das Ganze geht übrigens nicht nur mit Mal sondern genauso gut auch mit geteilt.
 



Distributivgesetz
5 · (2 + 10) = 5 · 2 + 5 · 10
7 · 4 + 7 · 6 = 7 · (4 + 6)
Funktioniert auch mit Geteilt.
Beispiele
-7 + 5 – 23 + 16 – 15 + 14 =
-7 – 23 + 5 – 15 + 16 + 14 =
-30 – 10 + 30 =
-10


-3 · 2 · (-6) · 5 · (-4) =
-2 · 5 · 6 · 3 · 4 =
-60 · 12 = 
-720


5 – 3 · (4 – 8) + (-3)2 – 6 · (-3 + 5) =
5 – 3 · (-4) + 9 – 6 · 2 =
5 + 12 + 9 – 12 =
14
 



Vorsicht:

+ (-15 + 13) · 24,
NICHT: -(15 + 13) !!!,
da sonst auch die 13 ein Minus vor der Klammer hätte!
12 · 9 – 15 · 24 – 7 · 9 + 13 · 24 =
(12 – 7) · 9 + (-15 + 13) · 24 =
5 · 9 – 2 · 24 =
45 – 48 =
-3
 

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