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Lektion
Teilbarkeitsregeln

Worum geht es?

Wie du aus der vorherigen Lektion weißt, braucht man in der 6. Klasse für das Rechnen mit Brüchen den ggT und das kgV. Für den ggT muss man alle Teiler einer Zahl finden. Das ist aber bei großen Zahlen gar nicht so einfach. Nehmen wir die 136. Ist 3 ein Teiler dieser Zahl? Ist es die 4?

Klar, man kann es einfach einmal mit einer schriftlichen Division ausprobieren: 136 : 4 = ... Aber das dauert. Deshalb geht es in dieser Lektion um ein paar Regeln, mit deren Hilfe man sehr schnell bestimmen kann, ob eine Zahl ein Teiler einer anderen Zahl ist.

In dieser Lektion lernst du

1.	Regeln für die Teilbarkeit durch 2 und 4.

2.	Für die Teilbarkeit durch 5, 10 und 100.

3.	Für die Teilbarkeit durch 3 und 9.

4.	Die Teilbarkeit zu prüfen, indem du eine Zahl geschickt zerlegst.

Ist eine Zahl durch 2 teilbar?

Ist 66 durch 2 teilbar?
Ja, weil die letzte Ziffer die 6 ist.

Ist 358 durch 2 teilbar?
Ja, weil die letzte Ziffer die 8 ist.

Merke:

	Eine Zahl ist dann durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist. Also wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.

Ist eine Zahl durch 4 teilbar?

Ist 126 durch 4 teilbar?
Nein, weil 26 nicht durch 4 teilbar ist.

Ist 2332 durch 4 teilbar?
Ja, weil 32 durch 4 teilbar ist

ist 3300 durch 4 teilbar?
Ja, weil die letzten beiden Ziffern 00 sind.

Merke:

	Eine Zahl ist dann durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern Nullen oder durch 4 teilbar sind.

Ist eine Zahl durch 5 teilbar?

Ist 135 durch 5 teilbar?
Klar, die letzte Ziffer ist ja eine 5.

Ist 73.790 durch 5 teilbar?
Natürlich, die letzte Ziffer ist eine 0.

Merke:

	Eine Zahl ist dann durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist.

Ist eine Zahl durch 10 oder 100 teilbar?

Ist 34.500 durch 100 teilbar?
Ja, ist ja ein voller Hunderter. Die letzten beiden Ziffern
sind 0.

Ist 235 durch 10 teilbar?
Natürlich nicht. Die letzte Ziffer ist ja keine 0.

Merke:

	Eine Zahl ist dann durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.

	Sie ist durch 100 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern Nullen sind.

Ist eine Zahl durch 3 teilbar?

Ist 246 durch 3 teilbar?
Quersumme: 2 + 4 + 6 = 12
Ja, sie ist durch 3 teilbar, weil ihre Quersumme 12 durch 3 teilbar ist.

Ist 4.437 durch 3 teilbar?
Quersumme: 4 + 4 + 3 + 7 = 18
Ja, weil ihre Quersumme 18 durch 3 teilbar ist.

Merke:

	Eine Zahl ist dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Quersumme:
Einfach alle Ziffern addieren.

Ist eine Zahl durch 9 teilbar?

Ist 1764 durch 9 teilbar?
Quersumme: 1 + 7 + 6 + 4 = 18
Ja, weil ihre Quersumme 18 durch 9 teilbar ist.

Ist 3.999 durch 9 teilbar?
Quersumme: 3 + 9 + 9+ 9 = 30.
Nein, weil ihre Quersumme 30 nicht durch 9 teilbar ist.

Merke:

	Eine Zahl ist dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Zusammenfassung

Teilbarkeitsregeln:

	Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.

	Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.

	Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist.

	Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.

	Eine Zahl ist durch 100 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern 00 sind.

	Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

	Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Große Zahlen in eine Summe zerlegen.

Wie steht es nun, wenn man testen will, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist? Oder durch 6 oder durch 12? Hierfür gibt es keine einfachen Regeln. Aber einen Trick:

Merke:

	Eine Summe ist dann durch eine Zahl teilbar, wenn BEIDE Summanden durch die Zahl teilbar sind. Ist nur ein Summand teilbar, dann ist es die ursprüngliche Zahl nicht.

Zerlege die Zahl, die du testen willst, geschickt in eine Summe, wobei der erste Summand garantiert durch die Zahl teilbar sein soll. z.B. Dann schaust du ob auch der zweite Summan durch die Zahl teilbar ist. Wenn ja, dann ist es auch die ursprüngliche Zahl. Wenn nein, dann nicht.

Beispiele:

Ist 117 durch 7 teilbar?
Zerlegung: 117 = 70 + 47.
Du hast die Zerlegung so gewählt, weil du von der 70 garantiert weißt, dass sie durch 7 teilbar ist. Teste nun die 47. Nein, ist sie nicht.
Ergebnis: Nein, 117 ist nicht durch 7 teilbar.

Ist 436 durch 6 teilbar?
Zerlegung: 436 = 420 + 16
420 ist durch 6 teilbar (42!), aber die 16 nicht.
Nein, 436 ist nicht durch 6 teilbar.

Ist 276 durch 12 teilbar?
276 = 240 + 36
240 ist durch 12 teilbar, 36 ebenfalls.
Ja, 276 ist durch 12 teilbar.

Große Zahlen in ein Produkt zerlegen.

Wieder geht es darum, die Teilbarkeit für Zahlen zu testen, für die es keine einfachen Regeln gibt. Der Trick mit der Summe ist schon mal gut. Manchmal kann man sich auch mit einem zweiten Trick behelfen:

Merke:

	Ein Produkt ist dann durch eine Zahl teilbar, wenn wenigstens EINER der Faktoren durch die Zahl teilbar ist.

Man zerlegt die Zahl in ein Produkt (mal). In diesem Fall genügt es dann, dass EINER der beiden Teile (Faktoren) teilbar ist. Dieser Trick hilft vor allem bei runden Zahlen (volle Hunderter).

Beispiele:

Ist 3.400 durch 17 teilbar?
Zerlegung: 3400 = 34 · 100
34 ist durch 17 teilbar, das reicht!
Ja, 3400 ist durch 17 teilbar.

Ist 5.500 durch 8 teilbar?
5500 = 55 · 100.
55 ist nicht durch 8 teilbar und 100 auch nicht.
Nein, 5.500 ist nicht durch 8 teilbar.

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