Zunächst einmal um Primzahlen. Sonderlinge in der Welt der Zahlen, die nicht so recht mit anderen Zahlen wollen.

Uns bieten sie in der 5. Klasse eine weitere Möglichkeit, den ggT und das kgV zu bestimmen, vor allem, wenn die anderen Methoden zu schwierig werden.

Primzahlen sind Zahlen, die keine richtigen Teiler haben. Also nur die 1 und sich selbst.

2 ist eine Primzahl.
3 ist die nächste Primzahl.
5 die nächste, dann die 7.
Danach aber erst die 11. Denn 8 ist durch 2 teilbar, 9 durch 3 und 10 wieder durch 2.

Finde die nächste Primzahl nach der 11.

13!

Und wieder die nächste?

17!

Denn 15 ist ja durch 3 und 5 teilbar. Und die geraden Zahlen sind eh nie Primzahlen.

Man kann jede Zahl in ihre Faktoren zerlegen:

30 = 3 · 10    28 = 2 · 14  50 = 5 · 10  usw.

Die meisten Faktoren kann man dann noch weiter zerlegen:

30 = 3 · 10 = 3 · 2 · 5 

Das geht so lange, bis keiner der Faktoren mehr zerlegbar ist, weil sie alle keine Teiler mehr haben. Auf dem Blatt stehen dann nur noch Primzahlen. Primfaktoren.

28 = 2 · 14 = 2 · 2 · 7

Zerlege 45 in seine Primfaktoren.

45 = 9 · 5 = 3 · 3 · 5.

Zerlege 100 in seine Primfaktoren.

100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5.

Um den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen zu finden, kann man auch folgendermaßen vorgehen:

1. Man zerlegt beide Zahlen in ihre Primfaktoren und ordnet die Primfaktoren nach der Größe.

2. Dann sucht man nach gemeinsamen Primzahlen und multipliziert deren niedrigsten Potenzen.

Bestimme den ggT von 48 und 120.

48 = 8 · 6 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 2⁴ · 3
120 = 12 · 10 = 2 · 2 · 3 · 2 · 5 = 2³ · 3 · 5

Gemeinsame Primfaktoren: 2 und 3. Die 2 kommt als kleinste Potenz 3 mal vor, die 3 einmal. Deshalb:

ggT(48, 120) = 2³ · 3 = 24.

Bestimme den ggT von 52 und 88.

52 = 2 · 26 = 2 · 2 · 13 = 2² · 13
88 = 8 · 11 = 2 · 2 · 2 · 11 = 2³ · 11.

Gemeinsam kommt nur die 2 vor. Kleinste Potenz: 2². Deshalb:

ggT(52, 88) = 2² = 4.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen zu finden, kann man auch folgendermaßen vorgehen:

1. Man zerlegt beide Zahlen in ihre Primfaktoren und ordnet die Primfaktoren nach der Größe.

2. Man multipliziert die höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren, nicht nur der gemeinsamen.

Bestimme das kgV von 12 und 54.

12 = 2 · 6 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3
54 = 6 · 9 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 3³

Es kommen die 2 und die 3 als Primfaktoren vor. Die 2 am höchsten als 2², die 3 am höchsten als 3³. Deshalb: 

kgV(12, 54) = 2² · 3³ = 4 · 27 = 108

Bestimme das kgV von 35 und 100.

35 = 5 · 7
100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 = 2² · 5²

Es kommen die 2, 5 und 7 vor. Als höchste Potenzen: 2², 5² und 7. Deshalb:

kgV(35, 100) = 2² · 5² · 7 = 4 · 25 · 7 = 700