Lektion
   Die Zerlegung in Primfaktoren   
Worum geht es?
Zunächst einmal um Primzahlen. Sonderlinge in der Welt der Zahlen, die nicht so recht mit anderen Zahlen wollen.

Uns bieten sie in der 5. Klasse eine weitere Möglichkeit, den ggT und das kgV zu bestimmen, vor allem, wenn die anderen Methoden zu schwierig werden.
 

   

In dieser Lektion lernst du
1.Was eine Primzahl ist.
2.Wie man eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt.
3.Wie man mit Hilfe dieser Zerlegung den ggT und das kgV zweier Zahlen findet.
 
Primzahlen
Primzahlen sind Zahlen, die keine richtigen Teiler haben. Also nur die 1 und sich selbst.

2 ist eine Primzahl.
3 ist die nächste Primzahl.
5 die nächste, dann die 7.
Danach aber erst die 11. Denn 8 ist durch 2 teilbar, 9 durch 3 und 10 wieder durch 2.
 
Primzahlen

sind nur durch 1 und sich selbst teilbar.



Primzahlen faszinieren Mathematiker.

Warum? Weil es keine Regel gibt, um die jeweils nächste Primzahl zu finden.

Mal kommt die nächste ganz schnell (11 ... 13), mal dauert es recht lange (23 ... 29). Ohne System.

Oder findest DU eines?
Finde die nächste Primzahl nach der 11.

13!

Und wieder die nächste?

17!

Denn 15 ist ja durch 3 und 5 teilbar. Und die geraden Zahlen sind eh nie Primzahlen.
 
Zerlegung in Primfaktoren
Man kann jede Zahl in ihre Faktoren zerlegen:

30 = 3 · 10    28 = 2 · 14  50 = 5 · 10  usw.

Die meisten Faktoren kann man dann noch weiter zerlegen:

30 = 3 · 10 = 3 · 2 · 5 

Das geht so lange, bis keiner der Faktoren mehr zerlegbar ist, weil sie alle keine Teiler mehr haben. Auf dem Blatt stehen dann nur noch Primzahlen. Primfaktoren.

28 = 2 · 14 = 2 · 2 · 7
 
Primfaktoren- 
zerlegung: 


Zerlegung einer Zahl in Faktoren, die Primzahlen sind.




Zerlege 45 in seine Primfaktoren.

45 = 9 · 5 = 3 · 3 · 5.

Zerlege 100 in seine Primfaktoren.

100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5.
 
ggT durch Primfaktorenzerlegung
Um den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen zu finden, kann man auch folgendermaßen vorgehen:
 


Merke:
Bestimmen des ggT:
Multipliziere die kleinsten Potenzen der gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen.






    
Du findest das schwierig?

Ist es auch! ;O)
1. Man zerlegt beide Zahlen in ihre Primfaktoren und ordnet die Primfaktoren nach der Größe.

2. Dann sucht man nach gemeinsamen Primzahlen und multipliziert deren niedrigsten Potenzen.
 
Bestimme den ggT von 48 und 120.

48 = 8 · 6 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 24 · 3
120 = 12 · 10 = 2 · 2 · 3 · 2 · 5 = 23 · 3 · 5

Gemeinsame Primfaktoren: 2 und 3. Die 2 kommt als kleinste Potenz 3 mal vor, die 3 einmal. Deshalb:

ggT(48, 120) = 23 · 3 = 24.
 
Bestimme den ggT von 52 und 88.

52 = 2 · 26 = 2 · 2 · 13 = 22 · 13
88 = 8 · 11 = 2 · 2 · 2 · 11 = 23 · 11.

Gemeinsam kommt nur die 2 vor. Kleinste Potenz: 22. Deshalb:

ggT(52, 88) = 22 = 4.
 
kgV durch Primfaktorenzerlegung
Um das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen zu finden, kann man auch folgendermaßen vorgehen:
 


Merke:
Bestimmen des kgV:
Multipliziere die größten Potenzen aller Primfaktoren der beiden Zahlen.




    
Keine Angst, wirst du später nur noch selten brauchen! ;O)
1. Man zerlegt beide Zahlen in ihre Primfaktoren und ordnet die Primfaktoren nach der Größe.

2. Man multipliziert die höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren, nicht nur der gemeinsamen.
 
Bestimme das kgV von 12 und 54.

12 = 2 · 6 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3
54 = 6 · 9 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33

Es kommen die 2 und die 3 als Primfaktoren vor. Die 2 am höchsten als 22, die 3 am höchsten als 33. Deshalb: 

kgV(12, 54) = 22 · 33 = 4 · 27 = 108
 
Bestimme das kgV von 35 und 100.

35 = 5 · 7
100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 = 22 · 52

Es kommen die 2, 5 und 7 vor. Als höchste Potenzen: 22, 52 und 7. Deshalb:

kgV(35, 100) = 22 · 52 · 7 = 4 · 25 · 7 = 700
 

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