Lektion
   Kreise: Bögen und Sektoren   
Worum geht es?
Eckige Figuren berechnet man dadurch, dass man sie in Dreiecke zerlegt. Und wie man mit Dreiecken umgeht, haben wir inzwischen gelernt.

Gebogene Figuren sind hingegen sehr schwer zu beherrschen. Außer: Es handelt sich um Kreise bzw. Kreisstücke. Die sind kinderleicht. Wie man die Länge eines Kreisbogens berechnet und die Fläche, die er einschließt, das lernen wir in dieser Lektion.
 

   
In dieser Lektion lernst du:
1.Den Kreisumfang und die Bogenlänge.
2.Die Kreisfläche und die Fläche eines Kreisringes.
3.Die Fläche eines Sektors und eines Segments.
 
Kreisumfang und Länge eines Kreisbogens
Die Länge eines gesamten Kreisumfangs kennst du seit Jahren:

Kreisumfang:  u = π · 2r  oder  u = π · d   

                  mit π = 3,14159...
 






Kreisbogen:
  b = 
α
360°
· π · 2r 
Ein Kreisbogen ist ein Stück des Kreisumfangs. Er hängt davon ab, wie weit es "rumgeht". Also vom Mittelpunktswinkel α.

Kreisbogen:    b = 
α
360°
· π· 2r
 
Der vorgeschobene Bruch 
α
360°
 ist überhaupt nichts Besonderes. Er sorgt einfach dafür, dass man nicht den gesamten Umfang π· 2r , sondern nur einen Teil davon errechnet:

α = 180°  →  Halb-Kreis    →  
180°
360°
 = 0,5

α = 90°  →  Viertel-Kreis  →  
90°
360°
 = 0,25

α = 36°  →  Zehntel Kreis →  
36°
360°
 = 0,1
 
Beispiel: 

Vom Umfang eines Kreises mit Radius 20 cm wird ein Bogen über einen Winkel von 45° heraus geschnitten. Wie lang ist der Bogen?

Lsg: b = 
45°
360°
 · π· 2 · 20 cm = 15,71 cm
 
Kreisfläche und Kreisring
Auch den Flächeninhalt eines Kreises kennst du seit Jahren:

Kreisfläche:  A = π · r2
 




  
Kreisring:
  A = π · r12 – π · r22 
Ein Kreisring ist die Fläche, die zwischen zwei Kreisen mit gleichem Mittelpunkt aber unterschiedlichen Radien entsteht.

Um den Flächeninhalt eines Kreisringes zu berechnen, zieht man einfach die Fläche des kleinen von der des großen Kreises ab:

Kreisring: A = π · r12 – π · r22 = π · (r12 – r22)
 
Beispiel: 

Berechne die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit den Radien 10 cm und 20 cm.

Lsg: A = π · (202 – 102) = 942,48 cm2
 
Fläche eines Kreissektors
Ein Kreissektor ist ein Stück einer Kreisfläche.

Wir betrachten also wieder die gleiche Situation wie beim Kreisbogen, konzentrieren uns dieses Mal aber auf die Fläche, die der Bogen einschließt.
 




Kreissektor:
  A = 
α
360°
· π· r2
Auch hier gibt es eine einfache Formel, die besagt: Die Fläche ist genau der Anteil an der Gesamtfläche, wie es der Winkel im Vergleich zu 360° ist:

A = 
α
360°
· π· r2

Ist α beispielsweise 90°, was ein Viertel von 360° ist, so bekommen wir als Fläche eben ein Viertel der Gesamtfläche.
 
Beispiel: 

Berechne die Fläche eines Sektors mit dem Mittelpunktswinkel 100°, der aus einem Kreis mit Radius 9 cm herausgeschnitten ist.

Lsg: A = 
100°
360°
· π· 92 = 70,65 cm2
 
Fläche eines Kreissegments
Ein Kreissegment entsteht, wenn man durch eine Gerade den äußeren Teil des Kreissektors abtrennt.

Die Fläche des Kreissegmentes ist die Fläche des zugehörigen Kreissektors minus die Fläche des Dreiecks, das sich ergibt.

Dabei errechnet sich die Dreiecksfläche über

ADreieck = 
1
2
· a · b · sin α = 
1
2
· r2 · sin α

Für das Segment bedeutet dies:

ASegment = ASektor – ADreieck

ASegment = 
α
360°
· π· r2 – 
1
2
· r2 · sin α
 






  
Kreissegment:
  ASegment = ASektor – ADreieck
Beispiel: 

Berechne die Fläche eines Segments mit dem Mittelpunktswinkel 80°, das aus einem Kreis mit Radius 12 cm herausgeschnitten ist.

Lsg: 

ASektor = 
80°
360°
· π· 122 = 100,53 cm2
ADreieck = 
1
2
· 122 · sin 80° = 70,91 cm2

ASegment = 100,53 – 70,91 = 29,62 cm2
 

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