Lektion
   Formeln für Flächeninhalte   
Worum geht es?
In den letzten Lektionen haben wir uns mit den Strecken zwischen zwei Punkten beschäftigt. Dabei konnte sich ein Punkt – etwa auf einer Parabel – frei bewegen. Der zweite Punkt lag dann durch eine bestimmte Vorschrift gebunden an einer festen Stelle relativ zum ersten Punkt.

Nimmt man nun einen dritten und eventuell auch noch einen vierten Punkt hinzu, deren Lage ebenfalls irgendwie vom ersten Punkt abhängig ist, so entsteht ein Dreieck oder ein Viereck, dessen Flächeninhalt man berechnen kann.
 
Da die Punkte unterschiedlich liegen können, ergibt sich als Flächeninhalt keine Zahl sondern eine Formel. Und da alles von der Lage des ersten Punktes abhängt, erhält man eine Formel, in Abhängigkeit vom x-Wert dieses ersten Punktes.
 
In dieser Lektion lernst du:
1.Wie man Flächeninhalte für Drei- und Vierecke über die üblichen Formeln berechnet.
2.Wie man das Determinantenverfahren verwendet.
3.Wie man Flächeninhalte über Sinus berechnet.
 
Bestehende Formeln für den Flächeninhalt
Seit der achten oder neunten Klasse wissen wir, wie man Flächeninhalte von einfachen Figuren berechnet. Diese Formeln stehen in der Formelsammlung. Hier sind sie noch einmal aufgelistet. Wir werden sie im Folgenden häufig benötigen.


Denke immer daran, dass man ein Quadrat auch als Raute behandeln kann, wenn man nur seine Diagonalen kennt.




 
Flächeninhalte
Dreieck: A = 
1
2
· g · h  (Grundseite, Höhe)
Parallelo-
gramm: 
A = g · h      (Grundseite, Höhe)
Raute/
Drachen: 
A = 
1
2
· e · f      (Diagonalen)
Trapez: A = 
1
2
· (a + c) · h  (Grundseiten, Höhe)
Rechteck: A = a · b
Quadrat: A = a2 




Determinantenverfahren

A = 
1
2
 · 
|
x1  x2
y1  y2
|
 







Liegen die Flächen im Koordinatensystem – und das tun sie bei unseren Problemen hier – , gibt es außerdem noch die Möglichkeit, die Fläche in Dreiecke zu unterteilen und mit Hilfe der Determinante zu berechnen:


Determinantenverfahren

A = 
1
2
 · 
|
x1  x2
y1  y2
|
  bzw.

A = 
1
2
· (x1·y2 – x2·y1)

Dabei sind 
v1
 
 =  (
x1
y1
)
 und 
v2
 
 =  (
x2
y2
)
 
die beiden Vektoren, die das Dreieck aufspannen.
 
Und es gibt noch eine dritte Methode, die erst in den Lektionen über Sinus und Kosinus eingeführt wird:

Sinus-Formel
A = 
1
2
· a · b · sin γ
 
Flächeninhalt in Abh. von x: Dreiecke
Nun also zu den Formeln für Flächeninhalte, die wir selbst erstellen müssen. Wir starten mit einfachen Dreiecken.
 













     
Gegeben seien die Parabeln
p1: y = -x2 + x + 1,75 und p2: y = x2 – 2x – 1.
An ϵ p1 ; Bn ϵ p2 ; An und Bn haben die gleiche Abszisse x.

Die Punkte Cn ergeben sich aus den Punkten Bn durch den Verschiebungsvektor 
BnCn
 
 =  (
2
1
)
.

Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke AnBnCn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An im Bereich [-0,64 ; 2,14].
 
Wir kennen die beiden Parabeln schon aus den vorherigen Lektionen. Nun sollen wir den Flächeninhalt des aufgespannten Dreiecks berechnen.

Formel: A = 
1
2
· g · h

Eine der Seiten brauchen wir als Grundseite. Aber welche? Dazu passend muss eine Dreiecks-Höhe berechenbar sein. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundseite und geht in die gegenüber liegende Spitze.
 
AnBn
 ist gut berechenbar. Es ist eine Formel, die wir bereits in der letzten Lektion erstellt haben. Da sie senkrecht liegt, läuft ihre Höhe waagerecht zum Punkt Cn. Auch diese Höhe ist leicht berechenbar.

BnCn
 wäre als Grundseite ebenfalls geeignet, doch steht deren Höhe schräg im Raum, das ist kaum zu beherrschen. Und 
AnCn
 liegt selbst schon auf eine variable Art und Weise schräg, das kann man vergessen.
 
AnBn
 
= yAn – yBn   (oben minus unten)
  = -x2 + x + 1,75 – (x2 – 2x – 1)
  = -2x2 + 3x + 2,75


h: Die Höhe auf 
AnBn
 ist einfach die waagerechte Verschiebung nach rechts, die der Punkt Cn erfährt, also die x-Komponente des Vektors.  →  h = 2

Fläche: 

A(x) = 
1
2
· g · h
       = 
1
2
· (-2x2 + 3x + 2,75) · 2
       = -2x2 + 3x + 2,75  Fertig!
 
Flächeninhalt in Abh. von x: Vierecke
Ein zweites Beispiel zum Warmwerden:

Gegeben ist die Parabel p: y = 0,5x2 – x + 3 und die Gerade g: y = x – 2.  An ϵ p ; Cn ϵ g. An und Cn besitzen die gleiche Abszisse x und bilden zusammen mit Punkten Bn und Dn Rauten, deren Diagonale BnDn eine Länge von 4 besitzt.

Berechne den Flächeninhalt der Rauten in Abhängigkeit von x.
 






Flächeninhalt einer Raute: 

A = 
1
2
· e · f

Die Länge der ersten Diagonale ist einfach:
e = BnDn = 4

Die Länge der zweiten Diagonale ist die Formel für die Strecke 
AnCn
:

AnCn
 = 0,5x2 – x + 3 – (x – 2)
        = 0,5x2 – 2x + 5

Fläche:

A(x) 
1
2
· 4 · (0,5x2 – 2x + 5)
     = 2 · (0,5x2 – 2x + 5)
     = x2 – 4x + 10
 
Flächeninhalt in Abh. von x: Vierecke
Gegeben sei die Parabel p: y = 0,25x2 + x + 1,5. Die Punkte An und Cn liegen auf der Parabel p und bilden zusammen mit den Punkten Bn und Dn Quadrate. Die Abszisse der Punkte Cn ist um 3 größer als die Abszisse x der Punkte An.

Berechne den Flächeninhalt der Quadrate in Abhängigkeit von x.
 











Koordinaten berechnen: 

Wie das geht, wird in der vorherigen Lektion gezeigt.





Bei Quadraten denkt man sofort an A = a2. Aber schau dir einmal die Seiten des Quadrates genau an. Die liegen irgendwie schief im Raum, da hast du keine Chance, die Länge auszurechnen.

Besser sieht es für die Diagonalen aus. Die Diagonale AnCn lässt sich als Formel berechnen. Und die Diagonale BnDn muss nicht berechnet werden, da sie eh gleich groß ist wie die andere. Also betrachten wir das Quadrat als Raute und gehen über die Diagonalen.
 
A(x) = 
1
2
· e · f        e = f = 
AnCn



Die Strecke 
AnCn
 liegt schräg im Raum, also müssen wir ihre Länge über Pythagoras berechnen. Dazu benötigen wir die Koordinaten der Punkte.

An (x | 0,25x2 + x + 1,5)  Cn (x + 3 | ???)

yC = 0,25·(x + 3)2 + (x + 3) + 1,5 
   = 0,25·(x2 + 6x + 9) + x + 4,5
   = 0,25x2 + 2,5x + 6,75


Waagerechte: xC – xA = 3 

Senkrechte:   yC – yA 
            = 0,25x2 + 2,5x + 6,75 – (0,25x2 + x + 1,5)
            = 1,5x + 5,25

Diagonale: 

AnCn
2 = (1,5x + 5,25)2 + 32  |   
AnCn
  = 2,25x² + 15,75x + 36,56

Fläche:
A(x) = 
1
2
· e · f = 
1
2
· e2
       = 
1
2
· 2,25x² + 15,75x + 36,56 2
       = 1,25x2 + 7,88x + 18,28
 
Flächeninhalt in Abh. von x: Determinatenverfahren
Gegeben ist die Parabel  p: y = x2 + x – 3 Die Punkte An und Bn liegen auf der Parabel p, wobei die Abszisse der Punkte Bn um 2 größer ist als die Abszisse x der Punkte An. Die Punkte Cn ergeben sich aus An über 
AnCn
 
 =  (
1
4
)
.

Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke AnBnCn in Abhängigkeit von x für x < -0,5.
 















Die Seitenlängen sind alle recht gut berechenbar, aber die Dreiecks-Höhen? Nicht zu machen! Also keine Chance für A = 
1
2
· g · h.
 
Was hier aber gut funktioniert, ist das Determinanten-Verfahren.

A = 
1
2
·
|
x1  x2
y1  y2
|
 = 
1
2
· (x1·y2 – x2·y1)
Dabei sind 
(
x1
y1
)
 und 
(
x2
y2
)
die beiden Vektoren, die das Dreieck aufspannen.

Wir müssen bei einem beliebigen Punkt beginnen und die beiden Vektoren von diesem Startpunkt aus zu den anderen beiden Punkten berechnen.

Startpunkt: An

AnCn
 
 =  (
1
4
)


AnBn
 
 ist schon etwas schwieriger.

x-Komponente: 2    (Bn immer 2 weiter rechts als An)

y-Komponente: yAn – yBn   (oben minus unten)

yBn = (x + 2)2 + (x + 2) – 3 
    = x2 + 4x + 4 + x – 1 
    = x2 + 5x + 3


yAn – yBn =  x2 + x – 3 – (x2 + 5x + 3) = -4x – 6 

Vektor: 
AnBn
 
 =  (
2
-4x – 6
)
 
Fläche: 
A(x)
1
2
·
|
x1  x2
y1  y2
|
 = 
1
2
·
|
    2        1
-4x – 6   4
|
 
     
1
2
·[2 · 4 – 1 · (-4x – 6)]
     
1
2
·[8 + 4x + 6]
     =  2x + 7
 
Flächeninhalt in Abh. von x: Sinus
Dieses Beispiel ist erst zu verstehen, wenn Sinus, Cosinus und Tangens schon behandelt wurden. Denn es gibt eine weitere Möglichkeit, die Fläche von Dreiecken zu berechnen:

A = 
1
2
· a · b · sin γ
    wobei γ der Winkel zwischen a und b ist.
 






Die Punkte An auf der Geraden  g: y = 0,5x – 1  und die Punkte Bn auf der Parabel  p: y = -x2 + 6x – 1  haben dieselbe Abszisse x und bilden mit den Punkten Cn Dreiecke. Dabei ist der Winkel CnBnAn immer 120° und die Strecke 
BnCn
 immer 2 Längeneinheiten groß.

Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke in Abhängigkeit von x.
 
Erste Seite: 
BnCn
 = 2

Zweite Seite: 

AnBn
 = -x2 + 6x – 1 – (0,5x – 1) 
        = -x2 + 5,5x

Fläche:
A(x) 
1
2
· 2 · (-x2 + 5,5x) · sin 120°
    = (-x2 + 5,5x) · 0,87
    = -0,87x2 + 4,79x
 

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